高等代数实践

中国海洋大学本科生课程大纲课程名称高等代数实践课程代码075104103278PracticeonAdvancedAlgebra075104103280课程属性匚作技能课时/学分16+16/0.5+0.5课程性质必修实践学时责任教师解朋朋肖汉课外学时32+32课程属性：工作技能课 程 性 质 ： 必 修_、课程介绍课程描述：高等代数实践是数学科学学院本科生的重要的工作技能必修课，是进一步学习代数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识。本课程针对低年级数学类专业学生开设，课程包括线性代数的若干基本内容：多项式理论、行列式、线性方程组和矩阵、线性空间和线性变换、欧式空间和二次型化简等。通过本课程的教学，使学生较好掌握多项式理论、线性代数、线性空间的理论知识；进一步掌握高等代数的基本理论，基本运算技能和基本思想方法，培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力，及运用数学软件编程解题的动手实践能力，为今后进一步学习其它课程及科学研究奠定必要的数学基础。设计思路：本课程引导低年级数学类专业学生通过高等代数来探讨和理解山实际问题所驱动的线性代数在理论和应用两方面的发展途径。本课程以高等代数理论作为基础，熟练运用基本定理、基本公式，加深知识点，拓宽知识面为LI的。它是高等代数课程的理论知识和基本技能的进一步深化，选修的学生应具备基本的高等代数的理论知识和运算技能。课程内容包括四个模块：多项式理论、行列式线性方程组和矩阵、线性空间和线性变换、欧式空间和二次型化简；这四个方面相互关联，能够体现高等代数实践课程的基本特征。多项式理论是代数学中最基本的研究对象之一，它在进一步学习其他的数学分支时也会遇到。这一板块我们主要探讨数域、一元多项式、整除、最大公因式、因式分解定理、重因式、有理系数多项式等内容。针对高等代数课和后续的其他课程，我们对每一知识点进行补充和深入讨论。行列式和矩阵是线性代数最基本的内容，它们的重要应用之一就是线性方程组的判别和求解。在此章中，要求熟练掌握行列式的性质，计算。熟练掌握矩阵的运算，逆矩阵的求法。理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。利用矩阵的初等变换求解线性方程组，会用基础解系表示解集。通过学习，主要培养学主分析论证问题的能力、抽象思维能力和和解决实际问题的能力。线性空间和线性变换这一板块，我们需要正确理解和掌握线性空间的定义及性质，理解线性子空间的定义及判别定理，深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。理解和掌握线性变换的定义及性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度的关系。欧式空间和二次型化简这一部分要求学生熟练掌握二次型化标准形的方法，掌握正定二次型的等价条件，深刻理解欧氏空间的定义及性质，掌握正交变换的概念及等价条件，理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法以及正交线性替换化简二次型为标准形。3.课程与其他课程的关系:先修课程：高等代数I:并行课程：数学分析I、数学实验I等；后置课程：《数值代数》、《偏微分方程数值解法》、《近世代数》、《数值分析》等。本课程与《数值代数》、《数值逼近》、《偏微分方程数值解法》等构成了计算数学系列课程群，内容和要求各有侧重、联系密切。二、课程目标本课程U标是数学与应用数学专业、汁算与信息科学专业重要的工作技能必修课，它是学生进一步学习代数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识，同时也可使其他理科专业学生进一步深入了解线性代数知识，为低年级数学类专业学生提供一个数学应用的窗口，引导并培养学主用数学理论和数学软件来描述和解决实际问题的能力，增强沟通能力和团队合作意识。到课程结束时，学生应能：（1） 对实际问题建立线性方程组和特征值求解等模型，理解这些模型的求解算法、并对小规模的线性代数问题给出书面的讣算过程；（2） 提高数学理论分析能力，理解线性方程组求解的理论、线性空间和线性变换以及欧式空间和二次型化简等线性代数知识，利用这些理论进行简单应用。（3） 利用计算机软件（MATLAB、C等）对所建立的线性方程组和特征值问题等进行求解、并对结果进行合理的理论分析和总结；（4） 针对数学模型中产生的线性代数问题开展小组研究（分析论证问题、用抽象思维考虑问题和形成科学研究的初步能力，并运用数学软件编程解题），并通过口头报告或书面研究报告形式提供研究结果；激发同学深入理解高等代数所表达的人们处理实际问题时所遵循的理念，提升提出问题并解决问题的能力。三、学习要求要完成所有的课程任务，学生必须：（1）按时上课，上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。本课程将包含较多的随堂练习、小组讨论等课堂活动，课堂表现和出勤率是成绩考核的组成部分。学生应针对高等代数学习中遇到的问题进行主动学习。2）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。（3）学会运用数学软件编程解题的动手实践能力，完成教师布置的一定量的理论探讨和算法软件应用等作业。这些作业能加深对课程内容的理解、促进同学间的相互学习、并能引导对某些问题和理论的更深入探讨。四、参考教材与主要参考书1、选用教材：没有固定的教材。2、主要参考书：[1]李师正主编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，北京（2004）.[2]杨子胥，《高等代数习题解（修订版）》上、下册，山东科学技术出版社，济南（2001）。五、进度安排序号专题主题计划课时主要内容概述实验实践内容1多项式理论—元多项式的整除、最大公因式2带余除法：辗转相除法：互素的验证高等代数教材作业；高等代数小测验题目：上机题目因式分解定理、重因式2不可约多项式概念、性质：因式分解及唯一性立理；k重因式与k重根的关系复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式2复（实）系数多项式分解定理：本原多项式；Eisenstein判别法多元多项式、对称多项式、利用数学软件计2对称多项式基本定理习题课:课堂讨论，完成作业练习，教师讲解

算多项式的数值解2行列式行列式左义、性质及计算2行列式的多种计算方法:利用数学软件计算行列式高等代数教材作业：补充习题3线性方程组线性相关性矩阵的秩2向量组线性关系的证明高等代数教材作业髙等代数小测验题目：上机题目线性方程组的有解判别和求解2线性方程组有解的判别和求解4矩阵矩阵的运算2矩阵乘积和行列式的秩高等代数教材作业高等代数小测验题目：上机题目逆矩阵的求法;分块矩阵的乘法3逆矩阵的求法：分块矩阵的加法、乘法的运算及性质5二次型二次型化简2正父线性替换化简二次型髙等代数教材作业高等代数小测验题目：上机题目正定二次型3正泄二次型的判别条件：半正泄二次型的等价条件6线性空间线性空间的定义与性质3线性空间的左义与性质；线性空间的维数与基：基变换与坐标变换高等代数教材、习题解子空间的交3子空间的和、直和、维数公式：线性空间的同构7线性变换线性变换的定义及性质2线性变换的定义运算髙等代数教材、习题解：数学实验特征值和特征向量、值域与核3求一个矩阵的特征值和特征向疑：相似矩阵与它们的特征多项式的关系：线性变换的值域、核、秩、零度等槪念不变子空间、若当标准形3线性空间的不变子空间分解8入-矩阵不变因子、初等因子3X-矩阵在初等变换卜的标准形、不变因子、初等因子、矩阵的有理标准型高等代数教材、习题解；数学实验9欧几里得空间标准正父基、施密特正父化、同构与空间维数的关系3标准正父基、施密特正父化、同构与空间维数的关系高等代数教材作业：小测验题目；上机题目正父变换与1正父变换、子空间、实对称矩阵的标

正父矩阵准形六、成绩评定（-）考核方式D:A.闭卷考试B.开卷考试C.论文D.考查E.其他二）成绩综合评分体系:成绩综合评分体系比例％1•出勤、作业302•平时测验203•小论文50总计100附：作业和平时表现评分标准1）作业的评分标准作业的评分标准得分1严格按照作业要求并及时完成，基本概念淸晰，解决问题的方案正确、合理，能提出不同的解决问题方案。90・100分2基本按照作业要求并及时完成，基本概念基本淸晰，解决问题的方案基本正确、基本合理。70-80分3.不能按照作业要求，未及时完成，基本概念不淸晰，解决问题的方案基本不正确、基本不合理。40-60分4不能按照作业要求，未及时完成，基本概念不淸晰，不能制定正确和合理解决问题的方案。0-30分2）课堂讨论及平时表现评分标准课堂讨论、平常表现评分标准得分1•资料的查阅、知识熟练运用，积极参与讨论、能阐明自己的观点和想法，能与英他同学合作、交流，共同解决问题。90・100分2•基本做到资料的查阅、知识的运用，能参与讨论、能阐明自己的观点和想法，能与其他其他同学合作、交流，共同解决问题。70-80分3做到一些资料的查阅和知识的运用，参与讨论一般、不能阐明自己的观点和想法，与其他同学合作、交流，共同解