高斯求积型公式及其程序开发

2011年1月19日摘要在实际中，求非代数函数的积分往往要求精度很高，因为高斯型求积公式据有最高代数精度且高斯型求积公式是收敛和稳定的，同时它可以使更多的函数准确成立，所以研究高斯型求积公式及其程序开发是很必要的•目的是总结分析高斯型求积公式，在掌握其基本思想的基础上，深入学习几种常见的高斯型求积公式.本文共包含两章，第一章主要介绍高斯型求积公式的概述，包括理论知识以及分类性质，还有算法分析及流程图•第二章主要介绍几种常用的高斯型求积公式，内容包括其定义及余项，还有部分c程序和流程图以及应用举例等.关键词高斯型求积公式；正交多项式；流程图;C程序目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"第一章高斯型求积公式 2\o"CurrentDocument"§1.1高斯型求积公式的概述 2\o"CurrentDocument"§1.1.1高斯型求积公式的定义及理论 2\o"CurrentDocument"§1.1.2高斯型求积公式的分类及性质 3\o"CurrentDocument"§1.2高斯型求积公式的方法及其流程图 4\o"CurrentDocument"§1.2.1高斯型求积公式的方法 4\o"CurrentDocument"§1.2.2高斯型求积公式的方法流程图 5\o"CurrentDocument"第二章常用的高斯型求积公式 5\o"CurrentDocument"§2.1高斯-勒让德求积公式 5\o"CurrentDocument"§2.1.1高斯-勒让德求积公式的概述 6\o"CurrentDocument"§2.1.2高斯-勒让德求积公式的算法及引例 7\o"CurrentDocument"§2.1.3C程序：用递归法求5阶勒让德值 9\o"CurrentDocument"§2.2高斯-切比雪夫求积公式 10\o"CurrentDocument"§2.2.1高斯-切比雪夫求积公式的概述 10\o"CurrentDocument"§2.2.2高斯-切比雪夫求积公式应用举例及算法流程图 11\o"CurrentDocument"§2.3高斯-埃尔米特求积公式 11\o"CurrentDocument"§2.3.1高斯-埃尔米特求积公式的概述 12\o"CurrentDocument"§2.3.2高斯-埃尔米特求积公式应用举例 13\o"CurrentDocument"参考文献 15附录A 16附录B 18引言介绍高斯型求积公式，重点理解三种常用的高斯型求积公式即Gauss-Legendre求积公式,Gauss-Chebyshev求积公式,Gauss-Hermite求积公式.同时，对部分高斯型求积公式进行程序设计及流程图设计•我们知道，插值型求积公式分为等距节点下的Newton-Ctoes求积公式和非等距节点下的Gauss求积公式两种，且对于n+1个节点时，其代数精度至少为n次.在Newton-Ctoes求积公式中，节点是等距的，从而限制了求积公式的代数精度，下面讨论的高斯型求积公式将取消这个限制条件，使代数精度达到最高，n+1个节点的高斯型求积公式的代数精度为2n+1次，并且总是稳定和收敛的.高斯型求积公式的系数A恒为正，故高斯型求积公式是稳定的；且对(有限闭k区间上的)连续函数，高斯求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积公值•高斯型求积公式有很多优点，但对一般的权函数p(x)，高斯节点不容易求•高斯型求积系数多为无理数，因此不如牛顿柯特斯求积公式的等距节点和柯特斯系数•当函数f(x)赋值计算量大或者求非代数函数的积分时，高斯型求积公式常被优先选取.另外，高斯型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利用•计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法所不能比的.第一章高斯型求积公式§1.1高斯型求积公式的概述我们知道，n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度，那么，最高的代数精度能达到多少呢？为此，我们得到高斯型求积公式.§1.1.1高斯型求积公式的定义及理论定义1.1放弃等距节点下的限制，在区间 [a,b]上，适当选择n+1个节点x(k二0,1, n)使插值求积公式的稳定性好，总是收敛且代数精度高达2n+1，这中k高精度的求积公式，称高斯型求积公式・高斯公式的的求积节点x称为高斯点•公k式表示为(1—1)Jbf(x')dxq工Af(x)

a k k(1—1)k=0其中A=Jbl(x)dx.kak高斯求积应用的定理：定理1・1插值型求积公式(1-1)的节点a<x<x<...<x<b是高斯点的TOC\o"1-5"\h\z0 1 n充分必要条件是这些节点为零点的多项式n+1(x)=(x—x)(x一x)...(x—xn+10 1 n与任何次数不超过n次的多项式p(x)带权P(x)正交，即Jbp(xb(x)p(x)dx=0.a n+1定理1.2高斯型求积公式(1-1)的求积系数A(k=0,1,...,n)全是正的，且kA=Jb12(xb(x)dx.kak定理1.3对于高斯型求积公式(1-1)，若fGC2n+2[a,b],其余项为R[f]=fn+1)(也b®2(xbx.(2n+1)!an+1定理1・4n+1个求积节点的插值型求积公式的代数精度m满足n<m<2n+1定理1・5求积公式Jbf(x)p(x)dx沁kkk=0中，x(i=0,1,2,n)是咼斯点的充分必要条件是：在区间［a,b］上,i兀(x)=HC一x)jj=o是关于权函数p(x)的n+1次正交多项式.§1.1.2高斯型求积公式的分类及性质高斯型求积公式分为带权和不带权两种：带权积分公式：Jbf(x)p(x)dxq艺Af(x)k kak=0不带权积分公式：Jbf(x)dxq艺Af(x)•k kak=0即带权积分是不带权积分的推广，不带权积分是带全积分的特例.通过定理7.9可知，正交多项式随权函数不同而异，所以有各种各样的高斯型求积公式•例如：当a=-l,b=1，且取权函数p(x)= =，则所建立的带权的高斯型求积公式―x2J1 f(x)dxq工Af(x一11-x2 k=okk当a=-g,b=+s，且取权函数p(x)=e-x，则所建立的带权的高斯型求积公式J+8e—xf(x)q工Af(x)•—8ii

i=0高斯型求积公式(节点个数为n+1)的特点是:具有最高代数精度m=2n+1•高斯点x正好为n+1次正交多项式的零点•k

(3)高斯系数A=Jbl(x)dx二Jbl2(x)dx>0.

kak ak具有稳定性和收敛性•余项为R[f]=f2叫)J%2(xbx•(2n+1)!an+i非等距节点下的插值型求积公式，即也为机械求积公式•主要缺点是节点无规律，且当积分精度不满足要求而需增加节点时，所用数据都要重新计算•§1.2高斯型求积公式的方法及流程图§1.2.1高斯型求积公式的方法高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高， 当2>8时牛顿-柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定的 •要求解高斯型求积公式的关键就是高斯点的构造，高斯点构造的方法有：(1)用待定系数法构造高斯求积公式.(2)利用正交多项式构造高斯求积公式.利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：Stepi以n+1次正交多项式的零点x,x…x作为高斯点.01,2Step2用高斯点x,x…x对f(x)作Lagrange插值多项式01,2f(x)uEl(x)f(x)TOC\o"1-5"\h\zi ii=0JbpJbp(x)f(x)dxqJbp(x)工l(x)f(x)a %=工(bp(x)/(xJdxi i) l/=0bp(x)l(x)f(x)i i求积系数

n）由于正交多项式具有性质：在A=Jbp（x》（x）dx（n）由于正交多项式具有性质：在ia 1Step3整理求解.注找区间［a,b］上的n+1次多项式的n+1个零点,［a,b］上的n+1次正交多项式一定有n+1个不同的零点，且全部位于［a,b］内，所以只要将此n+1个零点作为n+1次插值多项式的节点，构造出的插值求积公式即为高斯求积公式•但因为求一般［a,b］区间上的n+1次正交多项式比较困难，故求解过程中一般转化为［-1,1］区间.具体构造：常用Gauss-Legendre求积公式，第一类Gauss-Chebyshev求积公式，Gauss-Hermite求积公式.例用二点、三点Gauss型求积公式计算sinx,I=J1dx0xsin（；+；）1 2 —dt-111+—t2用二节点、三节点计算结果列在表1-1中.表1-1积分近似值节点数积分近似值20.94604113630.946083133与Newton-Cotes公式相比较，近似值要精确得多.§1.2.2高斯型求积公式方法流程图下一章将介绍权函数等于1的高斯-勒让德求积公式，权函数不等于1的高斯-切比雪夫求积公式和高斯-埃尔米特求积公式.（详见附录A）

第二章常用的高斯型求积公式§2.1高斯-勒让德求积公式通过第一章我们知道，高斯型求积公式的求解主要是高斯点的构造，由于勒让徳多项式的特点是在区间［-1,1］内有n个不同的实零点，从而可以通过计算多项式的零点确定高斯点.§2.1.1高斯-勒让德求积公式的概述定义2.1在高斯求积公式(1-1)中，若取权函数p(x)二1，积分区间［-1,1］得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"J1f(x)dxq工Af(x) (2-1)kk-1 k=0称之为高斯-勒让德求积公式.对任意求积区间［a,b］,通过变换a+bb一ax= +t22可化为区间［-1,1］，这时Jbf(x)dx=a取a=-1，b=1,则得公式J1f(x)dxq工Af(x).kk-1 k=0公式(2-1)中求积系数A=21knP(x)P'(x)n-1knk求积公式的高斯点就是勒让德多项式的零点.定理设fgC2n［a,b］，求积公式(2-1)的误差为(n!》f(2")(耳),耳w[-1,1(n!》f(2")(耳),耳w[-1,1](2-2)高斯-勒让德求积公式的误差由定理给出，但是在很多应用中，用被积函数求导的方法来估计误差是不方便的.此外有的被积函数没有高阶导数或不可导，因而不能

采用这样的方法来估计误差.下面两种方法在估计求积公式的误差是经常采用的.用更高阶的高斯-勒让德求积公式来检验其结果.把积分区间分成几个子区间，在这些子区间上采用同样的高斯-勒让德求积公式.§2.1.2高斯-勒让德求积公式的算法及引例利用勒让德多项式的一个性质G-x2)L(x)=采用这样的方法来估计误差.下面两种方法在估计求积公式的误差是经常采用的.用更高阶的高斯-勒让德求积公式来检验其结果.把积分区间分成几个子区间，在这些子区间上采用同样的高斯-勒让德求积公式.§2.1.2高斯-勒让德求积公式的算法及引例利用勒让德多项式的一个性质G-x2)L(x)=(n+1)(L(x)-xLn /n+1，(X))n+1可得高斯-勒让德求积系数A为i2V1-x2)A= i,i=0,1,2n1 ((n+1)L(x)》ni按(2-2)式，可推得余项为(2—3)若取R(fU+；)；；+；!>f(2n+2)C1)Lix的零点x二0为节点，则0从而一点高斯-勒让德求积公式人2(1-0)小Ao二EX二20(中矩形求积公式)为其余项为若取J1f(x)dxu2f(0)-1R(f)=1f-(Q/\(3x2-1)L(x)=—22的两个零点土为节点,A=A=101从而二点高斯-勒让德求积公式为

j1j1f(x)dxuf-i(丄］w/3丿其余项R(f)=丄f(4)6)

135同理，三点高斯-勒让德求积公式为j1j1f(x)dxu5f-其余项R(f)= f(6)(n)15750一般地，高斯-勒让德求积公式的节点可以通过勒让德多项式的零点确定，而系数通过(2-3)式确定.表2-1给出高斯-勒让德公式在节点数位123,4,5,6 时的节点和求积系数.表2-1Gauss-Legendre求积节点与求积系数mn+1xA11k0k232土0.5773502682153土0.77459666920.55555560土0.8888888974土0.86113631160.3478548451土0.33998104360.652145154995土0.90617984590.2369268851土0.53846931010.478628670500.5688888889116土0.93246951420.1713244924土0.66120938650.3607615730土0.23861918610.4679139346利用勒让德多项式，取它的零点作为求积节点即可构造出高斯公式，看如下例题:例2.1三点Gauss-Legendre求积公式计算积分j31dx1x的近似值，并估计误差.作变换

则积分dt

-11+1,对上式右端用三点Gauss-Legendre求积公式，得到J] 1」5 1 8 1 5 1J1dt〜* +_*_+_* 〜则积分dt

-11+1,对上式右端用三点Gauss-Legendre求积公式，得到J] 1」5 1 8 1 5 1J1dt〜* +_*_+_* 〜1.089039- 9 1.225403 9 2 9 2.774597_11+2而积分真值为ln3=1.098612有余项公式有Ef)=^^J1p2(t)dt，ne(-1,1)36!-1注意到()P(x)

p x丿=——3 A3 ，此时三阶勒让德多项式的首项系数为人(2*3)! 5A= =_23*(3!匕 2于是r()J1P2(x)dxJ1p2(x)dx=-13-13A234 2*257 175从而有g6(t)=6!—— 来 1756+2>,丄1,1)于是得到余项的估计式8Y8Y沁0.45714175175370.000021沁* YR(f17537而真正的误差确实在此界限内.§2.1.3c程序：用递归法求5阶勒让德公式的值步骤如下:Stepi定乂以n和x作为变量的Legendre函数Step2给变量赋予初值Step3在王函数中调用Legendre函数Step4使用输出函数Printf；Step5运行结果；C程序及运算结果：（见附录B）§2.2高斯-切比雪夫求积公式§2.2.1高斯-切比雪夫求积公式的概述定义2.1在高斯求积公式（1-1）中，若取权函数p（x）二=，积分区间[-1,1],1—X2节点数为n+1,得J1 f(x)dxq工Af(x) (2-4)-1Jl一X2 .0k kT k=0称之为高斯-切比雪夫求积公式•求积公式（2-4）的高斯点是n+1次切比雪夫多项式的零点，即为x=f2k+1j,k=0,1,2,nk12n+2丿积分系数使用时将起+1个节点公式改为飓个节点，于是高斯一切比雪夫求积公式写成J1_fBdx上工f(x)TOC\o"1-5"\h\z-11—X2 « k求积公式的高斯点为(2k—1)X=cos 兀k 2n公式余项为

2兀22n(2n)!带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.§2.2.2高斯-切比雪夫求积公式的应用举例及算法流程图利用高斯-切比雪夫正交多项式的零点构造高斯型求积公式，这种方法只是针对某些特殊的区间和特殊的权函数才有效，我们可以通过做一些等价变换再对其进行应用,看如下例题.例2.2用5点(n=5)的高斯一切比雪夫求积公式计算积分I=11.e=dx

-11—X2令 f(x)=ex,f(2n)(x)=ex，当n=5时可得I=丈ecosion=3.9774635k=1余项可估计得兀2兀29*10!e<4.6x10-9.例2.3作适当变换，把积分I=I=J20化为能应用n点高斯-且比雪夫求积公式的积分.当n取何值时，能得到积分的准确值？并计算它.令2—02+01x= t+ =t+1,22

能应用高斯-且比雪夫求积公式.由于n点高斯-且比雪夫求积公式的代数精度是2n-1，f(t)二12+2t是二次多项式，因此应用两点以上的高斯-且比雪夫求积公式便可得到积分的准确值•根据两点的高斯-且比雪夫求积公式兀f3)I=—fcos—+fcos—兀2L4丿L4丿2算法流程图：(详见附录A)§2.3高斯-埃尔米特求积公式§2.3.1高斯-埃尔米特求积公式的概述定义3・1在高斯求积公式(1-1)中，若取权函数p(x)二e-x2，积分区间(-。+小，节点数为n+1,得f1f(x1-x2dx沁kk-1 k=0称之为高斯-埃尔米特求积公式•节点X(k二0,1,2…n)为n+1次埃尔米特多项式kHH(兀)=(-1)"nex2 -x2,n二0丄2…ndxn的零点，求积系数为2n2n+1(n+1)!' (x))n+1k

公式（2-5）的余项为R[fL2n+i（2n+2）!f（22+2）（8），氏S'+8）高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数可见表2-2.表2-2高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数2xkAk001.7724538511土0.7071067810.886226926土1.2247448710.295408975201.181635901土1.6506801240.0813128353土0.5246476230.804914090土2.0201828710.019953242土0.9585724650.393619323400.945308721土2.3506049740.0045300105土1.3358490740.157067320土0.4360774120.724629595土2.6519613570.0009717812土1.6735516290.05451558286土0.8162878830.42560725300.810264618§2.3.2高斯-埃尔米特求积公式应用举例