第二章测量误差分析

会计学1第二章测量误差分析解决的问题认识测量误差存在的规律性；找出消除或减小误差对测量结果影响的方法；获得正确合理的测量结果。第1页/共40页2.1随机误差的分布规律第2页/共40页一、随机误差的正态分布性质有界性：在一定的相当窄的范围内变动；单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小。对称性：大小相等、符号相反的随机误差出现的概率相同。抵偿性：在等精度测量条件下，测量次数趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。第3页/共40页随机误差服从正态分布规律，分布密度函数：第4页/共40页随机误差服从正态分布规律。均方根误差：σ第5页/共40页二、正态分布密度函数与概率积分正态分布密度函数是一个曲线族。σ的大小表征测定值在真值周围的弥散程度。σ值愈小，表明测量的精密度愈高。第6页/共40页在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差δi可能都不等于σ，一系列测定值却有同样的均方根误差σ。随机误差的性质决定了不可能获得单个测定值的真误差δi的数值。第7页/共40页只能是在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。这里需要用到概率积分。第8页/共40页第9页/共40页2.2直接测量误差分析与处理第10页/共40页解决的问题：如何根据有限次的直接测量估计被测量真值？如何衡量这种估计的精密度？第11页/共40页两个概念子样平均值：代表由n个元素x1，x2，…，xn组成的子样的散布中心，表示为：子样方差：描述子样在其平均值附近散步程度，表示为：第12页/共40页一、算术平均值原理、真值的估计最大似然估计值根据最大似然原理，使测定值x1，x2，…，xn同时出现的概率P达到最大的参数值，就是未知参数的最大似然估计值。第13页/共40页一、算术平均值原理、真值的估计测定值子样平均值是被测量真值的最大似然估计值。用测定值子样平均值估计被测量的真值应该具有协调性和有效性，由于测定值子样平均值的数学期望恰好就是被测量真值：第14页/共40页算术平均值原理：测定值子样的算术平均值是被测量真值的最佳估计值。均方根误差：说明：用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有更高的精密度。第15页/共40页二、均方根误差的估计与贝塞尔公式第16页/共40页三、测量结果的置信度

在实际测量过程中，我们真正关心的是被测量真值μ。确切地说，关心的是真值μ处于区间内的概率。表示在宽度一定（2λ），中心值（为）作随机变动的随机区间

内包含被测量真值，这一事件的概率。

第17页/共40页如果线段与真值相交，表明区间内包含有被测量真值；不相交，表明在相应的区间内不包含真值。第18页/共40页定义区间为测量结果置信区间，也称置信限；λ为置信区间半长，也称误差限。置信概率为。置信区间与置信概率共同表明测量结果的置信度，即测量结果的可信程度。测量结果完整表达式：测量结果＝子样平均值±置信区间半长

（置信概率P＝？）第19页/共40页例题2-1

在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了20次测量，获得如下的一列测定值(单位：r／min)

4753.14757.54752.74752.84752.14751.04753.94751.24750.34753.34752.34748.44752.54754.74750.0试求该透平机转速(设测量结果的置信概率＝95％)。第20页/共40页计算测定值子样平均值；第21页/共40页由贝塞尔公式计算均方根误差σ；第22页/共40页对于给定的置信概率P，求置信区间半长λ。设，且记第23页/共40页查表2-1，得z=1.96，故测量结果表达为：转速＝4752.0±0.9（r/min）(P=95%)第24页/共40页四、测量结果的误差评价置信区间半长，是测量的误差限，即测量误差。它不是个别测定值与真值之间的真误差，而是指真误差在一定概率之下可能出现的一个范围界限。实际测量中用测量误差对测量结果进行误差评价。第25页/共40页1.标准误差均方根误差定义为测量列的标准误差。若测量结果用单次测定值表示：测量结果＝单次测定值x±标准误差σP＝(68.3％）若测量结果用测定值子样平均值表示：测量结果＝子样平均值±标准误差（P＝68.3％）第26页/共40页2.极限误差测量列标准误差的三倍，定义为极限误差Δ。

Δ＝3σ被测量真值落在x±3σ范围之内的概率接近100%3.平均误差4.或然误差第27页/共40页五、小子样误差分析，t分布及其应用当测量次数较少时（n<10次），则应按t分布计算误差限。自由度t分布与母体均方根误差无关，只与子样容量n有关。第28页/共40页测量结果表示为：测量结果＝第29页/共40页当测量次数较少时（n<10次），则应按t分布计算误差限。若仍用正态分布对小子样进行误差估计，往往会得到“太好”的结果。第30页/共40页2.5粗大误差第31页/共40页产生原因测量者的主观原因测量时操作不当，或粗心、疏失而造成读数、记录的错误；客观外界条件的原因测量条件以外改变引起仪表示值的改变。第32页/共40页一、拉伊特准则如果测量列中某一测定残差的绝对值大于该测量列标准偏差的3倍，认为该测量列有粗大偏差存在。它是一种最简单的方法，但是当测量次数n≤10时，即使测量列中有粗大误差，此准则也判定不出来。第33页/共40页二、格拉布斯准则当测量次数较少时，用以t分布为基础的格拉布斯准则判定粗大误差的存在比较合理。第34页/共40页2.7误差的综合第35页/共40页一、随机误差的综合若测量结果中含有k项彼此独立的随机误差，各单项测量的标准误差分别为σ1，σ2，…,σk,随机误差的综合效应是平方和之均方根，即综合的标准误差。第36页/共40页第37页/共4