2023年高考数学一轮复习（艺考）第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式高频考点（解析版）

文档来源网络仅供参考侵权删除第06讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式(精练）A夯实基础一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）下列事件中，是相互独立事件的是（

）A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”D．“人能活到20岁”，“人能活到50岁”【答案】A【详解】解：对于A中，把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故是独立事件；对于B：两个事件是不放回地摸球，显然事件与事件不相互独立；对于C，事件A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D是条件概率，事件受事件的影响．故选：A．2．（2022·北京通州·高二期末）已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，，所以；故选：A3．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二开学考试）设两个独立事件，都不发生的概率为.则与都发生的概率值可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为A，B是独立事件，设不发生的概率为x，B不发生的概率为y，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故选：D4．（2022·吉林·长春十一高高二期末）甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（

）A．0.5 B．0.3 C．0.15 D．0.6【答案】D【详解】解：记事件为“在第一个路口遇到红灯”，则，记事件为“在第二个路口遇到红灯”，则，故.故选：D.5．（2021·上海体育学院附属金山亭林中学高二期末）若为相互独立事件，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为为相互独立事件，且，所以.故选：B.6．（2022·安徽·六安一中高二期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为，由题意得：，解得：故选：C7．（2022·全国·高二单元测试）一个盒子里有7只好的晶体管，5只坏的晶体管，依次不放回地任取两次，则第二次才取到好的晶体管的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，设表示第次取到好的晶体管，其中，2，则，，所以。故选：C.8．（2021·全国·高一课时练习）下列事件A，B是相互独立事件的是（

）A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”【答案】A【详解】A：一枚硬币抛两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”，，故事件A、B是相互独立事件；B：袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，表示“第一次摸到白球,第二次摸到白球”事件，则，，故事件A、B不是相互独立事件；C：掷一枚骰子，A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数为偶数”，故事件A、B是互斥事件，，故事件A、B不是相互独立事件；D：A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”，是条件概率.故选：A.二、多选题9．（2022·全国·高二课时练习）设A，B是两个事件，若B发生时A必定发生，且，，给出下列各式，其中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】解：发生必定发生，，，故A，D错误，，故B错误，，故C正确．故选：ABD．10．（2022·浙江杭州·高二期中）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件B是相互独立事件C．事件B与事件C是相互独立事件 D．【答案】BCD【详解】解：对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；对于C，事件B与事件，，，，事件B与事件C是相互独立事件，故C正确；对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确．故选：BCD.11．（2022·福建福建·高二期末）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C． D．【答案】AD【详解】解：对于A，每次取出球，事件与事件是互斥事件且是对立事件，故A正确；对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为个，则取出白球概率发生变化，事件与事件不相互独立，故B错误；对于C，若从甲箱取出个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为个，白球还是个，则，故C错误；对于D：因为，，，所以，故D正确．故选：AD．12．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示事件“取出的是红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是红球”，则下列的结论中正确的是（

）A．事件是两两互斥的事件B．事件与事件相互独立C．D．【答案】AC【详解】由题意可得，，，,,事件是两两互斥的事件，故A正确，,故事件与事件不是相互独立,故B错误，，故C选项正确，,故D错误，故选：AC三、填空题13．（2022·上海·华师大二附中高三期中）从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．【答案】【详解】解：设事件表示“甲取到的数比乙大”，事件表示“甲取到的数是5的倍数”，则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为，，，所以，即甲取到的数大于乙取到的数的概率为.故答案为：.14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则________.【答案】【详解】根据题意，事件发生且事件发生的概率为；事件发生且事件发生的概率为；事件发生且事件发生的概率为；故.故答案为：.15．（2022·全国·高二课时练习）已知，是相互独立事件，且，，则______．【答案】【详解】因为，是相互独立事件，所以，也是相互独立事件，因为，，所以，故答案为：16．（2022·陕西渭南·高二期末（文））甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、唯怡豆奶、雪碧这3种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件“甲选择唯怡豆奶”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率________．【答案】【详解】由题意得，设加多宝、唯怡豆奶、雪碧分别标号为，则两人的选择结果有：,，则事件的可能结果为：共3个，在事件的条件下发生事件的结果有，共2个，所以.故答案为:.四、解答题17．（2022·全国·高二）分别在下列各条件下，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)解：因为，所以，所以；(2)解：因为，所以，所以.18．（2022·山东淄博·高二期末）对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下：擦伤凹痕外观合计保质期内1保质期后的投诉数据如下：擦伤凹痕外观合计保质期内1(1)若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值的独立性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？(2)若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%．设事件A：投诉原因是产品外观，事件B：投诉发生在保质期内．（ⅰ）计算，并判断事件A，B是独立事件吗？（ⅱ）“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法是否成立？并给出理由．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828，．【答案】(1)在犯错概率不大于的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联(2)（ⅰ），事件A，B不是独立事件；（ⅱ）说法成立，理由见详解(1)零假设：凹痕质量投诉与保质期无关联根据题意可得列联表：凹痕非凹痕总计保质期前105060保质期后202040总计3070100则可得：∵∴不成立即在犯错概率不大于的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联(2)（ⅰ）由据题意可得：∴∵，则事件A，B不是独立事件（ⅱ）由题意可得：“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内”的概率“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期后”的概率∵，则“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法成立B能力提升19．（2022·全国·高二课时练习）5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，______．从①抽出的题不再放回，②抽出的题放回这两个条件中任选一个补充在横线上，并作答．(1)求第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)求在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．【答案】(1)(2)（1）解：若选①设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率．若选②设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率．（2）解：若选①由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．若选②由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题