微积分-第十三周讲课提纲

P2931,3,6，P3041（2（8，2（2（7）§7.6定积分的物理应一、重心（质心、形心）（没有专门讨论W1,W2，人们挑它,"nXk

xkmkkn个质点，其位置和质量分别为(xkykmkk1"n,则它们质心的位置X,Y就由下列方程确定： Xmxm,Y ymk1 k1k k k1k),](x)1f(x)2babx(x)1f(x)2ba

,y

bf(x)(x)1f(x)2baba(x)1f(x)2Note：(xC2πxlb2πx1f(x)2dxayf(xy轴旋转所成旋转面的面积b2πx1f(x)2dxxa径、l为高的圆柱的侧面积2πxl2πylb2πf(x)1f(x)2dxayf(xx轴旋转所成旋转面的面积b2πf(x)1f(x)2dxya径、l为高的圆柱的侧面积2πl．注：此结论称为第一定理x d(t)x(t)2y(t)2dx(t)d(t)x(t)2y(t)2x ,y

dy(t) x(t)2y(t)2dd(t)x(t)2y(t)2yyfybxax[f(x)b

,y

b1[f(x)g(x)][f(x)a a[f(x)Note：g(x)0

a[f(x)即曲边梯形{(x,y)0y

2πxAa2πxf(x)dxbf(x0axb}绕y轴旋转所成旋转体的体积b a2πxf(x)dxx为半径的圆周长2πxAaf(x)dx2πyAbπf2(x)dxa即曲边梯形{(x,y)0yf(x),axbx轴旋转所成旋转体的体积bπf2x)dxaby为半径的圆周长2πyAb

f(x)dx1：ykx(k0yk围成，求它的形解：设形心坐标为(xyx0ky2y 2kk2 02xy2xyxy2xy2(1,2y[(y2)y2 y 4 2[(y2)y2 21[(y2)y2

][(y2)

5 x 2[(y2)y2 95 ytanO它的质量近似为mytan2yy轴上从0H，在距离Oy处放置了质量为m的质πHy(ytan)2Y 3HπHytan 1：逃逸速度问题mHRmHRM解：WR 1 (Gx2)dxGmMRHR R由1mv2GmM，得v R x2：清淤问题x挂斗重400，污泥重1500．求将挂斗从井底解：W0 5(3057000225059250（焦耳为每秒3米，其他条件不变，求将挂斗从井底提到井 月 日 页共153（）aOaa2h任取一个与池面距离为h的小薄层，厚度dh的重量为πa2h2 把这层水(微元)抽到地4所做的功是dWπa2h2hdh，所以抽干水所做4 2

a W

πa2hhdhπ2 a0

0形，下部由yx2与y1围成．当 541FH1(H1y)2dyH211F

1(H1y) ydy4(H1)42H 2HF15，得6H210H40H1（舍去H2 §7.7广义积分（反常积分一、无穷区间上的广义积分（无穷积分(HRM，引力常数为G．W(H)RHGMmdxGMm1 ．

RH

H

W(H)

，可以记作

dxm kv(t)(k0)，0k(tt0解得v(t)v(t0)e k(tt mv(t0S01

v(t)dt00

)e 0dt 0k3：yxA

S

dxA定义：f(x在[aAA

f(x)dx存在，则称无穷积分 f(x)dx敛，其值为 f(x)dx

AA

f(x)dx 类似地，定 f(x)dx

Bf(x)dx 特别地，若存在实数a，使得 f(x)dx与f(x)dx均收敛，则称f(x)dx收敛 且f(x)dxf(x)dx f(x)dxNote（1） f(x)dx f(x)dxf(x)dxbf(x)dxaf(x)dx f(x)dx Cauchy1x2dx性 xpdx （2） xlnpxdx(n1) xnexdx（n为正整数0ln ln

1x2dx （5）

dxNote（1（2（3）Note（4（5）用当x充分大时lnx

ln

1 3，x

ex定理：f(xg(x在任意区间[aA] ①当0f(x)g(x)(x[a,)，且 f(x)dx收敛 ②当0f(x)g(x)(x[a,)，且 f(x)dx发散时， g(x)dx发散 证明：①F(A)af(x)dxag(x)dx g(x)dx，由单调有界收敛定理可证②由Af(x)dxAg(x)dx及f(x)dx 定理：设函数f(x),g(x)在任意区间[a,A]上非负可积，且 f(x)C，x①当0Cf(x)dx与g(x)dx ②当C0，且g(x)dxf(x)dx ③当C，且g(x)dxf(x)dx f证明：①因为 C0，根据极限的保序性，存在Na，当xNfx

Cg(x)f(x)3Cg(x) limf(x)0NaxN时，有0f(xg(xxlimf(x)NaxN时，有0g(xf(xx1比阶形式（g(xxp作参照1定理：f(x在任意区间[aAa0)①当0C，且p1时， f(x)dx收敛②当0Cp1时，af(x)dxln ln

x

xpf(x)C（1）

1x2dx （2）

dx（1（2）（4（5 dx(p0,q0)． xplnq 定义若 f(x)dx收敛则称 f(x)dx绝对收敛若 f(x)dx收敛但发散，则称 f(x)dx条件收敛 定理：若 f(x)dx收敛，则 f(x)dx收敛．即绝对收敛必收敛

f(x)证明：因为0f(x)f(x)2f(x)，且 f(x)dx收敛，所以根据比较判敛法可af(x)f(x) 收敛，从而f(x)dxf(xf(xf(xdx收敛 sin

2，

2dx

sinx

1

sinx

1cosxsin cos cosxx dx 1 dxcos1x

dxcos sin且

sinsinx

x

sin2 1 cos dx2 xdx cos sin2且易知

xdx发散， sin2

xsin

sinx

sin

dx(0p1)x

2nπsinxdx2nπsinxdxn sinx ，，

k22(k nnk也可以说明sinxdx

2(k1)πsinxdxn4 k22kπ 定理：f(x)dx收敛的充分必要条件是：任给0N0AN,Aa时， f(x)dxaNote：f(x)dx发散的充分必要条件是：存在00N0aAN,AN，使得

f(x)dx0

证明：比较判敛法：利用当0f(x)g(x)(x[a,

f

Ag(x)dxAf(x)dx

f(x)dx

x2N 2N 2NNxdxN2Ndx2．或sin2

dxln2NlnNln20x(k1)πsin2

x (k1) 证明：因为 dx(k1) sinxdx2(k1)π2(k1)，所2nπsin2xdx1 "1111 n 2n 二、有限区间上函数的积分（瑕积分 1

(0x1)xAlimxx0xx

dx在(c,c)上均 ，则称c为f(x)的奇点．Note：端点的情况类似考虑．瑕积分的定义：设af(x的奇点，对任意的0f(x在[ab limaf(x)dx存在，则称瑕积分af(x)dxf(x)dx

f(x)dx类似地，可定义b是奇点的瑕积分

f(x)dxlim

f(x)dx 0 当cab为奇点时，只有当af(x)dx与cf(x)dxbaf(x)dx f(x)dxf(x)dx

f(x)dxlim

f(x)dxlim

f(x)dx

Ac

Bc理．Note11：讨论瑕积分0xpdxp0)Note：给出 a(xa)

dx与 a(bx)

dx（ba）1lnx例2：讨论瑕积分 xxlnx1

xi1ddx 14，所以1lnxdx解：因为1lnxdx xxxxx0的右侧附近有

1lnx0，即

xxlnx0．又因为xx

1

x0所以1lnxdxx0

3 0x x x“因为在0的右侧附近有

1x1xx2

ln

0，且11

44x

dx在01xx

定理：f(xg(x在(ab上非负，且0f(x)g(x)Aabf(xg(x在Ab①当bg(x)dxbf(x)dx ②当bf(x)dxbg(x)dx 可积，若

f

C①当0Cbf(x)dx与bg(x)dx ②当C0，且bg(x)dxbf(x)dx ③当C，且bg(x)dxbf(x)dx 定理：f(x在(abAabf(x在Ab

(xapf(x)Ca①当0Cp1bf(x)dxaxa0Cp1bf(x)dx发散．例：判断1lnxdx的收敛性．（与1比阶）xa01x定义：若bf(xdx收敛，则称bf(x)dx绝对收敛；若bf(x)dx收敛，但bf(xdx a散，则称bf(x)dxa定理：若bf(xdx收敛，则bf(x)dx 证明：因为0f(x

f

2f(x)，且

aabf(x)f(x)aa收敛，从而bf(x)dxbf(xf(xf(xdx sin sin例1：判断 xdx的收敛性（利 x1，且

xxxx xxsin例2：证明 xdx条件收敛x0x 1

1sinxdx

tsin

1

sintdt

sintdtsin

t

xdx a定理：设af(xbf(x)dx收敛的充分必要条件是：任给0，存在0，当aAa,aAaAf(x)dx．aaNote：bf(x)dx发散的充分必要条件是：存在00，任给0aAaaaAaAf(x)dx0sin例1：讨论 xdx（p0）的收敛性0xsin解：令t1，则 xdxsintdt 0x t2当2p1p1当02p1，即1p22p0p2时，原积分发散．（若xqsinxdx(q01sinxdxxqsinx1dx也收敛，与sinxdx发 2：判断lnxdx0 ln

1xdx1lnxdx lnxdx，由于1lnxdx与 lnxdx解： 1x 01x 1x 01x 1x3：定义pxp1exdx，求p的定义域和(n1)0p10p1时，xp1exdx0 p1 x p1limx

2dx收敛，所以

x xp1exdx0p10p10p1