云南省曲靖市富源县古敢水族乡中学2023年高一数学理期末试卷含解析

云南省曲靖市富源县古敢水族乡中学2023年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数为奇函数，则a的值为A．1

B．0

C．2

D．a为任意实数参考答案：B2.已知f（x）=ax﹣2，g（x）=loga|x|（a＞0且a≠1），若f（4）?g（﹣4）＜0，则y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内的大致图象是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】观察两个函数的解析式，f（x）=ax﹣2是指数型的，g（x）=loga|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）?g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由这些特征对选项进行正确判断即可【解答】解：由题意f（x）=ax﹣2是指数型的，g（x）=loga|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）?g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由此特征可以确定C、D两选项不正确，A，B两选项中，在（0，+∞）上，函数是减函数，故其底数a∈（0，1）由此知f（x）=ax﹣2，是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选B【点评】本题考查识图，判断图的能力，考查根据函数的图象确定函数的性质及通过函数的解析式推测函数的图象，综合性较强，解决此类题关键是找准最明显的特征作为切入点如本题选择了从f（4）?g（﹣4）＜0，因为f（4）一定为正，这可以由函数是指数型的函数轻易得出．3.已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:①若,则;②若,且则;③若,则;④若,,且,则.其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B4.若集合，则M∩N=（）A．{y|y≥1} B．{y|y＞1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}参考答案：C【考点】交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】计算题．【分析】求出指数函数y=2x及函数y=的值域，分别确定出集合M和N，找出两集合解集中的公共部分即可得到两集合的交集．【解答】解：由集合M中的函数y=2x＞0，得到函数的值域为y＞0，∴集合M={y|y＞0}，由集合N中的函数y=≥0，得到函数的值域为y≥0，∴集合N={y|y≥0}，则M∩N={y|y＞0}．故选C【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算，是高考中常考的基本题型．5.已知函数f（x）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是（）A．（﹣4，4） B．[﹣6，6] C．（﹣4，4）∪（4，6] D．[﹣6，﹣4）∪（4，6]参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可．【解答】解：∵当0＜x≤4时，函数单调递增，由图象知4＜f（x）≤6，当﹣4≤x＜0时，在0＜﹣x≤4，即此时函数也单调递增，且4＜f（﹣x）≤6，∵函数是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴4＜﹣f（x）≤6，即﹣6≤f（x）＜﹣4，∴f（x）的值域是[﹣6，﹣4）∪（4，6]，故选：D【点评】本题主要考查函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．6.当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C当时，单调递增，单调递减故选.7.（4分）在直角坐标系中，直线x+y+1=0的倾斜角是（） A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°参考答案：D考点： 直线的倾斜角．专题： 直线与圆．分析： 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．解答： 设直线x+y+1=0的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．直线化为，∴tanθ=﹣，∴θ=150°，故选：D．点评： 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．8.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（

）A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心参考答案：D∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，又∵可得到﹣==λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心故选：D．

9.下面四个命题：

①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.

其中真命题的个数为()A．1

B．2

C.3

D．4

参考答案：A10.下列函数中为偶函数且在(0,1)上单调递减的函数是（）A．

B．

C.

D．参考答案：BA项，定义域为，不是偶函数，故错误；B项，定义域为，，是偶函数，由反比例函数性质可得，在(0,1)上单调递减，故正确；C项，在递增，故错误；D项，原函数是奇函数，故错误，故选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】画出分段函数的图象，由题意可得f（x）=k有两个不等的实根，数形结合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．12.在大小相同的6个球中，4个红球，若从中任意选取2个，则所选的2个球至少有1个红球的概率是．参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据所有的取法共有C62种，而所选取的2个球中至少有1个红球的取法有C21?C41+C42种，由此求得所选取的2个球中至少有1个红球的概率．【解答】解：在大小相同的6个球中，4个红球，若从中任意选取2个，所有的取法共有C62=15种，则选取的2个球中至少有1个红球的取法有C21?C41+C42=14种，故所选的2个球至少有1个红球的概率等于，故答案为：13.已知实数,函数，若，则实数的值为

▲

．参考答案：8或14.△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若C=2b,sin2A－sin2B=sinBsinC,则A＝.参考答案：30°略15.已知是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为

▲

.参考答案：16.已知a是正常数且a≠1，则方程ax+a–x+1=3cos2y的解是

。参考答案：17.已知集合M{4,7,8},则这样的集合M共有

参考答案：7个略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若p=，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{bm}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=4m+1（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如不存在，说明理由．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；数列的概念及简单表示法；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意，得，解，得n的范围即可得出．（Ⅱ）由题意，得an=2n﹣1，对于正整数，由an≥m，得．根据bm的定义可知当m=2k﹣1时，；当m=2k时，．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m），分组利用等差数列的求和公式即可得出．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．由于，根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有，即﹣p﹣q≤（4p﹣1）m＜﹣q对任意的正整数m都成立．对4p﹣1分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小整数为8，即b3=8．

（Ⅱ）由题意，得an=2n﹣1，对于正整数，由an≥m，得．根据bm的定义可知当m=2k﹣1时，；当m=2k时，．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵，根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有，即﹣p﹣q≤（4p﹣1）m＜﹣q对任意的正整数m都成立．当4p﹣1＞0（或4p﹣1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！当4p﹣1=0，即时，得，解得．∴存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，．19.（9分）设向量=（6cosx，﹣），=（cosx，sin2x），x∈（1）若||=2，求x的值；（2）设函数f（x）=?，求f（x）的最大、最小值．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题： 三角函数的图像与性质．分析： （1）由于向量=（6cosx，﹣），||=2，利用向量的模的计算公式可得，化简并利用x∈，即可解得x．（2）利用数量积、倍角公式和两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=?==+3．由于x∈，可得，可得，进而得出函数f（x）的最小值、最大值．解答： （1）∵向量=（6cosx，﹣），||=2，∴，化为，∴．∵x∈，∴，解得．（2）函数f（x）=?===+3=+3．∵x∈，∴，∴，∴．∴函数f（x）的最小值、最大值分别为，6．点评： 本题考查了向量的模的计算公式、数量积运算法则、倍角公式和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．20.若等差数列的前项和为，且满足为常数，则称该数列为数列．（1）判断是否为数列？并说明理由；（2）若首项为且公差不为零的等差数列为数列，试求出该数列的通项公式；（3）若首项为，公差不为零且各项为正数的等差数列为数列，正整数满足，求的最小值．参考答案：解：(1)由,得，所以它为数列；

(2)假设存在等差数列,公差为,则(常数)化简得

①

由于①对任意正整数均成立,则

解得:

，故存在符合条件的等差数列.其通项公式为:,其中.（3）.

其最小值为，当且仅当取等号21.（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列中的最小的项.参考答案：（1），

（2）

当且仅当，即时，取得最小值.

∴数列中的最小的项为.

22.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O。

求证：（1）直线OE∥平面PBC；

（2）平面ACE⊥平面PBD。

参考答案：证：（