新高考数学高频考点专项练习：专题九 考点25 数列求和及其综合应用（A卷）

新高考数学高频考点专项练习：专题九考点25数列求和及其综合应用（A卷）1.古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，每过期一天便加纳一天利息，债务过期一天要纳利息一尺绢，过期二天则第二天便再纳利息二尺，这样，每天利息比前一天增加一尺.若过期100天，欠债方共纳利息为()A.100尺 B.4950尺 C.5000尺 D.5050尺2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为102米时，乌龟爬行的总距离为()A. B. C. D.3.某公司今年获利5000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加，那么总利润达3亿元时大约还需要()

(参考数据:，，，)

A.4年 B.7年 C.12年 D.50年4.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466~485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同，已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加的尺数为()A. B. C. D.5.已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，.则使得的值为()A. B. C. D.6.定义为n个正数，，，…，的“快乐数”.若已知正项数列的前n项的“快乐数”为，则数列的前2021项和为()A. B. C. D.7.在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和.若，，则下列说法中，正确的是()①数列是等比数列；②；③数列是等比数列；④数列是等差数列A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④8.(多选)已知数列满足，，则下列结论正确的是()A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前n项和9.(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法中正确的是()A.此人第二天走了96里路B.此人第三天走的路程占全程的C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.此人后三天共走了42里路10.(多选)已知数列的前n项和为，，若存在两项，，使得，则下列结论中正确的是()A.数列为等比数列B.数列为等差数列C.为定值D.设数列的前n项和为，，则数列为等差数列11.设，且，则____________.12.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则__________.13.若数列满足，，则的通项公式为__________；若数列的前n项和为，则满足的n的最小值为_____________.14.已知在数列中，且，设数列满足，对任意正整数n不等式均成立，则实数m的取值范围为____________.15.已知数列的前n项和为.（1）若，，证明：；（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.

答案以及解析1.答案：D解析：由题意知，每天的利息构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以共纳利息为尺.2.答案：B解析：根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为故选B.3.答案：A解析：根据题意，每年的利润构成一个等比数列，其中首项，公比，.于是得到，整理，得，

两边取对数得，解得，故还需要4年.4.答案：B解析：由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列，记为，则.记的前n项和为，则.设的公差为d，所以，解得，故选B.5.答案：B解析：数列的前n项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选B.6.答案：B解析：设数列的前n项和为，则根据题意，得，，，当时也满足上式，所以，所以，所以的前2021项和为.7.答案：C解析：由题意，为等比数列，，，由等比数列的性质得，，，或，又公比q为整数，，，，，，，数列，，，且，因此数列为等比数列，故①正确；，故②不正确；数列，，，且，因此数列为等比数列，故③正确；数列，，，因此数列为等差数列，故④正确；故选C.8.答案：AD解析：，，又，是以4为首项，2为公比的等比数列，即，，，为递减数列，的前n项和.故选AD.9.答案：ACD解析：设此人第n天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，则，解得，则此人第二天走了96里路，故A正确；此人第三天走48里路，，故B错误；此人后五天走的路程是，则第一天走的路程比后五天多6里，故C正确；此人后三天走的路程，故D正确.故选ACD.10.答案：ACD解析：数列的前n项和为，，则当时，，解得；当时，，所以，整理，得，即（常数），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，当时也符合，所以，故A正确，B错误；由于，故存在两项，，使得，即，则，故C正确；由题意，得，所以，所以符合一次函数的形式，故该数列为等差数列，故D正确.故选ACD.11.答案：10解析：，则，解得.12.答案：解析：由题意可得1个月后老鼠的只数，2个月后老鼠的只数，3个月后老鼠的只数，…，n个月后老鼠.13.答案：；11解析：因为，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，.令，即，解得，又，