第一章 空间向量与立体几何 单元检测-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何单元检测一、单选题1．下列关于空间向量的说法中错误的是（

）A．零向量与任意向量平行B．任意两个空间向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量2．已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（

）A． B． C． D．3．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（

）A． B． C． D．4．在长方体中，若，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．5．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（

）A． B． C． D．6．已知空间向量，，，若，则（

）A．2 B． C．14 D．7．已知，，则取最小值时的值是（

）A． B． C． D．8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（

）A． B． C． D．1二、多选题9．给出下列命题,其中正确的有（

）A．已知向量,则B．若向量共线,则向量所在直线平行或重合C．已知向量,则向量与任何向量都不构成空间的一个基底D．为空间四点,若构成空间的一个基底,则共面10．已知空间向量，.则下列结论正确的是（

）A．与，共面 B．C．在上的投影向量的模长是 D．与夹角的余弦值为11．已知空间中三点，则下列结论正确的有（

）A．B．与共线的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是12．如图所示，三棱锥中，为等边三角形，平面，，.点D在线段上，且，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．直线CE的一个方向向量为 B．点D到直线CE的距离为C．平面ACE的一个法向量为 D．点D到平面ACE的距离为1三、填空题13．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．14．己知平行六面体中，，，，，则的长度为________．15．如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，O为底面中心，为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是______.16．在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.四、解答题17．如图所示，在正方体中，化简向量表达式：(1)；(2)；(3).18．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．(1)试用，，表示向量；(2)若，求MN的长．19．已知．(1)若，求的值．(2)若，且，求的值．20．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的正切值；(3)求点到平面的距离.21．如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,(1)求证:平面平面PBC;(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由．22．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.答案1．C2．D3．C4．C5．D6．C7．D8．C9．AB10．ACD11．AD12．ABD13．14．515．16．17．（1）（2）由图知，所以（3）由图知，所以由（2）可得18．（1）解：，∴；（2）解：，，，，，即MN的长为.19．（1），．，，解得（2）由，得，∴

，由，有，即，，解得20．（1）根据题意，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，所以，因为是棱的中点，所以，所以,设平面的一个法向量为，所以，得，令，得，所以，因为,所以，因为平面，所以平面.（2）由（1）得平面的一个法向量为，由题可设平面的一个法向量为，所以，所以，所以，所以平面与平面的夹角的正切值为.（3）由（1）得平面的一个法向量为，所以，所以点到平面的距离为.所以点到平面的距离为.21．（1）证明:,,,四边行为平行四边形,,又平面,,而,且BD,PD含于面PBD平面,又平面,平面平面;（2）由(1)知,,且平面ABCD,故以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则,假设在存在一点满足条件,设,,,即,设为平面的法向量,则,即,即,令,可得,平面ABCD,不妨令平面的法向量为,由二面角的大小为,,或（舍去）,存在实数,即,解得,使得二面角的大小为．22．（1）证明：取棱AB长的一半为单位长度.则在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根据余弦定理，得得，故AB⊥AC.又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB.又平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB.取AB中点H，连接PH，CH.因是等边三角形，则PH⊥AB，又PH平面PAB，平面ABCD平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD.得∠PCH是CP与平面ABCD所成的角.在直角三角形中，，，.故，即为所求.（2）假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.如图，以A为原点，分别以为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，则，，设是平面PAD的法向量，