高等工程力学

一、已知函数f=a（x4严4）,试检查它能否作为应力函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩形薄板边界上的面力。1、 将f=a（x4-y4）代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能作为应力函数。2、 则，应力分量：Qy2-Qy2-fx=_12ay2xQ2©(x,y)Qx2-fy=12ax2y_±(Txy) _±(Txy) -_0xyy_ -y±2AyO厂j3aZ3/尹3t__Q2©（x，y）=oxy QxQy3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力在主要边界上：hy_±-,f_±Q)h_±12ax2,2x y\_±-y_±2在次要边界上：f_(T )/_0y xy'x_f_(T )/_0y xy'x_-2x xx_—2二、如图所示，矩形截面长柱体（长度h远大于深度沏），宽度为1,远小于深度和长度，在顶部受集中力F和力矩M=Fb/2作用，体力不计。试用如下应力函数：①_Ax3+Bx2求解：应力分量；

—:爲/“yz/zf軀範袖I2、求应力分量已知了应力函数，考虑用逆解求解此平面应力问题。考察所假设的应力函数是否满足相容方程辿+2』L+辿二0TOC\o"1-5"\h\zdx4 dx2dy2 dy4经验证，它满足相容方程。由应力函数求应力分量G 2虹x,y)_fx=0x Qy2 xG=a^)_fy=6Ax+2Bz-\ uJy Qx2 yT—_Q珅(兀y)=0xy QxQy考察边界条件，并求选定系数在主要边界x=±b上(Gl+Tm)二f(s)xxysxxyy可得(G)xx=±b在次要边界y=0上，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个(xyy可得(G)xx=±b在次要边界y=0上，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个二0,(T二0,(T)二0xyx=±b积分边界条件代替：\b(g)dx-1=_F_byy=o即为：J*b(g)xdx-1=一FbTOC\o"1-5"\h\z_byy=0 2Jb(T)dx-1=0_bxyy=0FF由此得：A-_ ，B-_ -8b2 4b

代入得：F3Qy=—2b(2bx+1)Q=T=0xxy三、如图所示有压隧洞，内压为q1=100kPa,外压为q2=50kPa，内外半径分别为r=3m和R=6m，泊松比卩=0.35。求极径p=4m处的三个主应力解：根据轴对称平面应变问题即坐标系下的控制方程，可得，该隧洞中应力分量为T =—0P申R2-11—R2-11—r2r2q1—r21—R2q2TOC\o"1-5"\h\z62 32_—1 1—__X100—_42X50kPa—1 1—3! 6!=—54.17kPa

R2+1r21+62+11+32P2G rqP2— q=42 x100—41x509 R21r2 262 V,32—11——11—r2R2326T=4.17kpag=pQ+g）=0.35x（—54.17+4.17）kPa=-17.5kPaz P9故，主应力分别为g=4.17kPa；g=—17.5kPa；g=—54.17kPa1；2；3四、如图所示单自由度体系，质量块m沿竖直方向自由振动。已知k=100m,写出其运动方程，并计算自振频率。（20分）///5解：质量块在竖直方向运动时，系统刚度为k=3以质量块为研究对象，分析其受力，利用动量定理，可得质量块运动的控制方程mu(t)+Ku(t)=0K500其自振频率°2=_=m其自振频率°则，该单自由度系统自振频率为°=12.9rad/s五、如图所示体系，已知地面光滑无摩擦，且k=100m写出其自由振动方程，并计算自振频率和振型。（20分）解：运动方程为2km-k0=02k-km0K=；M=-kk9_0m其中：；X为振型振频率及振型为下列特征值问题的解-O2M4X=0自振频率可由K一①2M则，2k-m32-k-kk-m320及k=100m得6163 =<16.12一阶频率31=6.16，相应振型由下列方程求解:162m-100m-100m62m(X}=01解得仪1}=11.62二阶频率3=16.12，相应振型