广东省汕头市溪南中学2022年度高一数学理下学期期末试题含解析

广东省汕头市溪南中学2022年度高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设点M是棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是()A. B. C.2 D.参考答案：B【分析】以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系，计算三个平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：，再利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】`以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系.则易知：平面的法向量为

平面的法向量为设平面的法向量为：则，取平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等或看作平面的两条平行直线，到的距离.根据点到直线的距离公式得，点到点的最短距离都是：故答案为B【点睛】本题考查了空间直角坐标系，二面角，最短距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2.已知A是△ABC的一个内角，且,则△ABC是A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.形状不能确定参考答案：B若A为锐角，由单位圆知：。由条件，知A为钝角，故选B3.要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位参考答案：C【分析】由三角函数的平移变换求解即可【详解】函数的图像向右平移个单位得故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移变换，熟记变换规律是关键，是基础题4.与y=k有4个不同的交点，则k的范围（

）

A、（-4，0）

B、[0，4]

C、[0，4）

D、（0，4）参考答案：D5.已知=,则的值等于A. B. C. D.参考答案：A====故选：A

6.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是(

)A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}C.{x|2kπ－≤x≤2kπ+,k∈Z}D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}参考答案：C【分析】首先对三角不等式进行恒等变换，变换成sinx，进一步利用单位圆求解．【详解】2sinx≥0解得：sinx进一步利用单位圆解得：（k∈Z）故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：利用单位元解三角不等式，特殊角的三角函数值．7.函数的定义域是（）A．[﹣1，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，0）∪（0，+∞）参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件，求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得x≥﹣1且x≠0，∴函数的定义域为{x|x≥﹣1且x≠0}．8.过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0参考答案：A【考点】点到直线的距离公式．【分析】数形结合得到所求直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：A．9.下列函数，是偶函数，且周期为π的是（）A．y=cos2x﹣sin2x B．y=sin2x+cos2xC．y=cos2x﹣sin2x D．y=sin2x+cosx参考答案：A【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性和周期性逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x﹣=cos2x﹣是偶函数，它的周期为=π，满足条件；而y=sin2x+cos2x=sin（2x+）和y=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）都是非奇非偶函数，故排除B、C，y=sin2x+cosx=﹣cos2x+cosx+1=﹣+不是偶函数，故排除D，故选：A．【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．10.c若，则=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A(－1,5)和向量=（2,3）,若=3,则点B的坐标为

参考答案：(5,14)12.已知向量=（sinx+cosx，1），=（1，sinxcosx），当x∈[0，]时，?的取值范围为．参考答案：[1，]【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；换元法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，则sinxcosx=，根据x的范围求出t的范围，于是?=t+=（t+1）2﹣1，利用二次函数的单调性求出最值．【解答】解：?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，则sinxcosx=，∵x∈[0，]，∴x∈[，]，∴t∈[1，]，∴?=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t+1）2﹣1，∴当t=1时，?取得最小值1，当t=时，?取得最大值．故答案为[1，]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，换元法，二次函数的最值，是中档题．13.已知集合A={x|x为不超过4的自然数}，用列举法表示A=．参考答案：{0，1，2，3，4}考点： 集合的表示法．专题： 规律型．分析： 先求出A中满足条件的元素，然后利用列举法进行表示．解答： 解：满足x为不超过4的自然数有0，1，2，3，4．故A={0，1，2，3，4}．故答案为：{0，1，2，3，4}．点评： 本题主要考查利用列举法表示集合，要求熟练掌握列举法和描述法在表示集合时的区别和联系．14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A=______．参考答案：60°【分析】由，根据余弦定理可得结果.【详解】，由余弦定理得，，又，则，故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为_______________。参考答案：73.116.函数，给出下列4个命题：①在区间上是减函数；

②直线是函数图像的一条对称轴；③函数f（x）的图像可由函数的图像向左平移而得到；④若，则f（x）的值域是．其中正确命题序号是

。参考答案：①②17.函数的值域为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.有甲，乙两种商品，经营销售这两种商品能获得利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式:P=x

,Q=

,今有3万元资金投入经营甲，乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两种商品的投资应分别为多少？能获得多少利润？参考答案：19.(14分)已知a=(,－1),b=(,2).f(x)=x2+a2x+a·b,数列{a-n}满足a1=1,3an=f(an－1)+1(n∈N,n≥2),数列{bn}前n项和为Sn,且bn=.(1)写出y=f(x)的表达式;(2)判断数列{an}的增减性;(3)是否存在n1,n2(n1,n2∈N*),使≥1或＜,如果存在,求出n1或n2的值,如果不存在,请说明理由.参考答案：(1)f(x)=x2+3x－1……………2分

(2)∵3an=a+3an－13(an－an－1)=a≥0

∵a1=1≠0,∴an＞an－1

∴数列{an}单调递增………5分(3)由3an=an－1(an－1+3)

∴bn=

=……………8分∴Sn=

=1－………………9分由（2）知an单调递增,且a1=1,∴a2=,≥a2=

∴0＜≤,∴－≤－＜0

∴≤Sn＜1………………13分故不存在n1使≥1,也不存在n2,使＜……14分略20.已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2．

（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；

（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程．参考答案：解:(1)方法一：设P(x,y),

∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，

∴∣OP∣=1

……2分

∴点P的轨迹方程为x2+y2=1．

……4分

方法二：设P(x,y)，∵P为AB的中点，∴A(2x,0),B(0,2y),

………2分

又∵∣AB∣=2

∴(2x)2+(2y)2=2

化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1．……………4分

(2)①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,

由条件易得

x=1符合条件;

………………5分②当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=k(x-1)

即kx-y+2-k=0

由

得k=,

∴切线方程为y-2=

(x-1)即3x-4y+5