实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题文含解析

黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题文含解析黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题文含解析PAGE22-黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题文含解析黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题文(含解析）考试时间：120分钟总分:150分一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若集合，，则集合中的元素的个数为（）A。5 B。4 C.3 D。2【答案】C【解析】【分析】根据题意求出即可得解。【详解】集合，,则集合共三个元素。故选：C【点睛】此题考查求集合中的元素个数，关键在于读懂集合的新定义，根据题意求出集合中的元素。2.在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（）A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】由题，在复平面对应的点为（1,1)，关于虚轴对称点为(-1，1），所以其对应的复数为.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义,关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.3.已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：①∥②⊥∥③∥⊥④⊥∥其中正确命题的序号是（)A.①③ B。②③④ C.①②③ D.②④【答案】A【解析】【分析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果。【详解】②若，则与不一定平行，还可能为相交和异面；④若，则与不一定平行,还可能是相交。故选A.【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、垂直的性质定理和判断定理.4。设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A B。C. D.【答案】A【解析】【详解】∵∴−=3(−)；∴=−。故选A.5。程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为()A。28 B。56 C。84 D.120【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行,可得：执行循环体，;不满足判断条件，执行循环体,;不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件,执行循环体,；不满足判断条件，执行循环体,；不满足判断条件,执行循环体，；满足判断条件,退出循环，输出的值为。故选C。【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。6.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A. B。 C。 D。【答案】B【解析】分析：随机摸出两个小球，基本事件总数,其中两个小球同色包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.详解：从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，基本事件总数，其中两个小球同色包含的基本事件个数为,两个小球同色的概率是，故选B。点睛：本题考查考查古典概型概率公式，是基础题.在解古典概型概率题时,首先求得样本空间中基本事件的总数，其次求得概率事件中含有基本事件数，然后根据公式求得概率。7。已知函数(，，）的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与轴的交点的纵坐标为1,则（）A.1 B。—1 C. D。0【答案】D【解析】，的最大值为，；根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4,即，再根据的图象与轴的交点纵坐标为,可得，故函数的解析式为，，故选D。8。现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20随机数:根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(）A。0.55 B。0。6 C.0.65 D。0.7【答案】B【解析】【分析】根据随机模拟数据找出至少击中三次的情形,根据古典概型求解概率。【详解】由题设可知两次及两次以上没击中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281，共八种,即,,故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.故选:B【点睛】此题考查根据随机模拟求古典概型，关键在于读懂模拟方法，准确得出基本事件总数和至少击中三次包含的基本事件个数。9.已知双曲线的离心率为，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为,其中为坐标原点，则双曲线的方程为A. B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】运用离心率公式,求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得到渐近线的距离为，由勾股定理可得,运用三角形的面积公式,结合，，的关系，解得,，即可求出双曲线方程．【详解】由题意可得，可得:，设,渐近线为，可得到渐近线的距离为,由勾股定理可得，由题意可得，又，解得，，，可得双曲线的方程为：．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的焦距的求法,注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力,属于中档题．10。在等比数列中，，公比.若,则m=A。9 B。10 C。11 D.12【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可知,答案选C.考点：等比数列的性质11。已知抛物线的焦点，准线为，点在抛物线上，为与轴的交点，且，则(）A.1 B。 C.2 D。4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的几何特征分析出，代入抛物线方程求解.【详解】过作准线的垂线，垂足为，则,在中，∵，∴，∴，把代入抛物线方程，解得。∴.故选：C【点睛】此题考查求抛物线上点的坐标，关键在于熟练掌握抛物线的几何性质，建立等量关系求解标准方程，进而解得点的坐标。12.已知函数，若函数是奇函数，且曲线在点的切线与直线垂直，则=（)A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数是奇函数求出的值,再根据切线与直线垂直得到b的值，即得+b的值.【详解】因为函数f（x)是奇函数,所以f（-x）=-f(x)，所以=5.由题得，因为切线与直线垂直，所以b+31=—6,所以b=-37.所以+b=—32。故选A【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。二、填空题（本大题共4小题,共20分）13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________．【答案】。【解析】分析:由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率:。点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长）之比．14。若，满足约束条件，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最小值处点的坐标，最后求解最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率,据此可知目标函数在点A处取得最小值,联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：。故答案为．【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2）解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．15.某单位有420名职工,现采用系统抽样方法抽取21人做问卷调查，将420人按1,2，…,420随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间的人数为______。【答案】7【解析】试题分析：因，而，故抽取的人中编号落入区间中的人数是人．故应填．考点：抽样方法有关知识及运用．16.已知f(x)是定义在［－2，2］上奇函数，当x∈(0，2］时,f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2］，∃x2∈［－2,2］，使得g(x2）＝f（x1)，则实数m的取值范围是______________.【答案】[－5，－2]。【解析】分析：求出函数的值域,根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论。详解：由题意得：在［－2,2］上f（x)的值域A为g(x）的值域B的子集。易得A＝[－3，3］，B＝［m－1,8＋m］，从而解得－5≤m≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.［选修4—4］参数方程与极坐标系在平面直角坐标系中，已知曲线：，以平面直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系。已知直线：.(Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；(Ⅱ)在曲线上求一点，使点到直线的距离最大,并求出此最大值。［选修4—5]不等式选讲【答案】（1)，的参数方程为（为参数)；（2）。【解析】试题分析：（I）根据极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程．由曲线消参可得普通方程。（II)设点,．则求出点P到直线l的距离，利用正弦形函数的有界性求解即可.试题解析:（1）由题意知，直线的直角坐标方程为:，∴曲线的参数方程为（为参数）(2）设点的坐标，则点到直线的距离为，∴当时,点，此时。18。在公差不为0的等差数列中，，，成公比为的等比数列，又数列满足．（1）求数列的通项公式；(2）求数列前项和．【答案】(1)；（2）【解析】【分析】(1）根据条件列方程组解得公差与首项,即得数列的通项公式;(2）根据分组求和法得结果。【详解】(1)公差不为0的等差数列中，,，成公比为的等比数列，可得,，可得，,化简可得，即有;（2）由（1）可得，；前项和．【点睛】本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属中档题。19。如图，在直三棱柱中，，是的中点,.（1）求证：平面；（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.【答案】（1）见证明;（2)3【解析】【分析】（1)连接，交于点，连结,利用中位线定理证明平面．（2）通过平移，表示出异面直线和所成角,结合正弦定理及三角形面积公式求得．所以可得解．【详解】解法一：（1)连结，交于点，连结.在直三棱柱中,四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面,所以平面。（2）因为,为锐角，所以为异面直线和所成的角,所以由条件知，在中，，,,，.又平面，平面,，所以，，,所以。解法二：（1)证明:取的中点,连结,，，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，又是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面,因为，所以四边形是平行四边形，所以,又平面,平面，所以平面，又，平面，所以平面平面,又平面，所以平面.（2）过作于,因为平面，平面，所以,又，平面，所以平面。因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，在中，，，，，,又，,，所以。【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，割补法求体积,属于中档题．20.已知在中，角，，对边分别为，，，且。（1）求的值;（2）若，求面积的最大值.【答案】(1）;(2）。【解析】分析:（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得,然后运用余弦定理可得,从而得到，故得．详解:(1)由题意及正、余弦定理得，整理得,∴(2)由题意得，∴，∵，∴，∴。由余弦定理得，∴，，当且仅当时等号成立．∴．∴面积的最大值为．点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查,解题时要注意整体代换的应用,如余弦定理中常用的变形,这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．21.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与(为坐标原点）的斜率之和为2;②直线与圆相切,若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：(1)由离心率，已知点坐标