建筑与几何学三新第八讲-

建筑与几何学（三）

橡皮几何与拓扑变换

张弘

清华大学建筑学院《建筑数学》第八讲拓扑几何概述拓扑几何是与平面几何、立体几何等其他类型几何学研究截然不同的几何门类。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。而拓扑几何研究的过程却并不用知道棱长及定量关系、不用计算面积、体积，也没有复杂的计算公式，事实上，拓扑几何对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。它思考问题的基本出发点是:仅需考虑点和线的个数，以及相互顺序关系。在拓扑学中没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可改变，因此，拓扑几何也叫橡皮几何，本课主要内容包括橡皮几何与拓扑变换、莫比乌斯带、以及与拓扑理念相关的建筑设计案例等。橡皮几何与拓扑变换橡皮几何、拓扑同构、拓扑变换拓扑几何——找出与其他三张不同的一张拓扑几何——“橡皮几何”以色列的一位城市规划学者在清华建筑学院做讲座，说到老北京的街道都是南北正交，而中东的城市街道弯曲。两者的街道形态在拓扑上“同构”的，每一个交叉口都是两条街道相交。一个几何图形任意“拉扯”（就像画在橡皮上），只要不发生割裂和粘接，可做任意变形，称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑同构”。拓扑几何——研究几何图形在一对一连续变换中不变的性质。不考虑几何图形的尺寸、面积、体积等度量性质和具体形状。北大方正的王选就是研究汉字的拓扑结构，找到了表达和识别汉字的一种优化方法，发明了激光照排系统。上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外”的区分不变，边线上点的顺序不变。上述四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线

在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。拓扑几何——拓扑同构

欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同，前者与球同构，后者与轮胎同构。球和立方体同构，与轮胎不同构。拓扑几何——拓扑同构

放射形街道方格形街道拓扑几何——从拓扑同构到拓扑同胚上述两张图片是否可以通过拓扑变换互相转化？在拓扑学中，两个流形，如果可以通过弯曲、延展、变形等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是拓扑同胚的（简称同胚）。如：圆和正方形是同胚的，而球面和环面就不是同胚的。拓扑几何——拓扑同胚的判定???拓扑几何——拓扑同胚的的判定上堂课曾提提到，对于于柏拉图多多面体有:V：顶点数；；F：面数；E：棱边数拓扑几何——拓扑同胚判判定的欧拉拉公式欧拉注意到到如果一个个闭曲面能能连续地形形变到一个个闭的多面面体，那么么这里h是环柄个数数（也叫亏亏格数）2(1-h)称为欧拉数拓扑几何——拓扑同胚判判定的欧拉拉公式右图上下对对应图形为为拓扑同胚胚造型，自自左到右各各组造型的的环柄数分分别为1,2,3拓扑几何——地铁时空地地图变换中中的拓扑同同胚拓扑几何——地铁时空地地图变换中中的拓扑同同胚头颅拓扑比比较，看动动物的进化化。拓扑几何——拓扑同构的的应用封闭围线构构成一个封封闭图形，，如何判别别“里”与与“外”呢呢？在图形形的“外”部确定一点点，这容易易判定，只只要它离图图形足够远远。从这一一点出发到到需判定的的点的路径，如果和围围线（边界界）相交奇数次次，则需判定定的点在“里”，如果和围围线（边界界）相交偶数次次，则需判定定的点在“外”。当然首选选的出发点点在“里””，从此点点到需判定定的点的路路径，如果果和围线（（边界）相相交奇数次次，则需判判定的点在在“外”，，如果和围围线（边界界）相交偶偶数次，则则需判定的的点在“里里”。拓扑几何应应用——封闭图形的的“里”与与“外”拓扑几何——判定封闭图图形的“里里”与“外外”判定方法也也可简述为为：从外到里，，从里到外外的路径与与边界交奇奇数次；从从外到外，，从里到里里的路径与与边界交偶偶数次。路径可以是是曲折的，，也可以穿穿过边界进进进出出。。对于建筑而而言，房屋屋就是封闭闭图形（体体），人流流流线就是是“路径””，墙是““边界”，，墙上的门门就是“交交点”。上图四点在曲线线内部还是是外部？拓扑几何——只存在5种正多面体体的证明解上述不等等式得：i）n=3时，m=3、4、5ii）n=4时，，m=3iii)n=5时，m=3若以表示示这个正多多面体，则则（3，3））——正四四面体、、（3、4）——正正八面体、、（3、、5）———正二十面面体（4、3））——正六六面体、（5、3））——正十十二面体拓扑几何——只存在5种正多面体体的证明平行投影锥形投影拓扑变换如果用拓扑扑几何方法法证明，首首先可以把把立体几何何问题转化化为平面几几何问题正4-面体正8-面体正6-面体正12-面体正20-面体拓扑几何——只存在5种正多面体体的证明拓扑几何——只存在5种正多面体体的证明拓扑证明：：顶点数V、棱数E和面数F的性质都可可以由每个个面上的边边（棱）的的数目p和每个顶点点出发的棱棱的数目q给出。由于于每条棱有有两个顶点点又在两个个面上，因因此：另一个关系系是欧拉公公式:综合上面等等式，得到到：于是由于，因此：注意到p和q必须大于等等于3，我们可以以容易地找找到所有五五组(p,q)：高校教材《中国建筑史史》第五版P229““拓扑同构图图”拓扑几何——拓扑同构与与建筑学高校教材《中国建筑史史》第五版P228““四、同构关关系与自然然秩序”拓扑几何——拓扑同构与与建筑学门厅佣人房厨房餐厅客厅书房卧室卧室卧室WCWCWC功能分析图拓扑几何——拓扑同构与与建筑学莱特设计的的三个住宅宅的平面是是拓扑同构构的。参见《建筑设计与与人文科学学》拓扑几何——拓扑同构与与建筑学学生设计课课程过程所所做的功能能模式分析析中的拓扑扑变换.拓扑几何——拓扑同构与与建筑学莫比乌斯带带与克莱因因瓶莫比乌斯带带、克莱因因瓶莫比乌斯（（AugustusF.Möbius，1790－1868）德国数学家家、天文学学家将一个长方方形纸条的的一端固定定，另一端端扭转半周周后，把两两端粘合在在一起，，得到的曲曲面就是莫莫比乌斯带带。用一种颜色色，在纸圈圈上面涂抹抹，画笔没没有越过纸纸边，却把把整个纸圈圈涂抹成一一种颜色，，不留下任任何空白。。或，一个个蚂蚁不越越出纸边，，就可以爬爬过纸面所所有表面。。莫比乌斯带带MöbiusStrip莫比乌斯带带MöbiusStrip试验：在裁好的一一条纸带正正中间画两两条线（三三等分带子子宽度，正正反两面都都画上线）），粘成莫莫比乌斯带带，然后沿沿线剪开，，结果又会会怎样？沿沿着线剪的的时候，要要不要剪完完一条线，，再剪另一一条线？特性总结：：（1）莫比乌斯带带只存在一一个面。（2）如果沿着莫莫比乌斯带带的中间剪剪开，将会会形成一个个比原来的的莫比乌斯斯带空间大大一倍的、、具有正反反两个面的的环。（3）如果再沿着着环的中间间剪开，将将会形成两两个具有正正反两个面面的环，且且这两个环环是相互套套在一起的的。马清清运运设设计计的的莫莫比比乌乌斯斯造造型型雕雕塑塑扎哈哈设设计计的的莫莫比比乌乌斯斯造造型型雕雕塑塑莫比比乌乌斯斯的的其其他他应应用用美国国著著名名轮轮胎胎公公司司百百路路驰驰把把传传送送带带制制成成莫莫比比乌乌斯斯圈圈形形状状，，这这样样一一来来，，整整条条传传送送带带环环面面各各处处均均匀匀地地承承受受磨磨损损，，避避免免了了普普通通传传送送带带单单面面受受损损的的情情况况，，使使得得其其寿寿命命延延长长了了近近一一倍倍。。针式式打打印印机机靠靠打打印印针针击击打打色色带带在在纸纸上上留留下下一一个个一一个个的的墨墨点点，，为为充充分分利利用用色色带带的的全全部部表表面面，，色色带带也也常常被被设设计计成成莫莫比比乌乌斯斯圈圈。。还还有有莫莫比比乌乌斯斯电电阻阻———不会会产产生生电电磁磁感感应应现现象象、、莫比比乌乌斯斯圈圈循循环环往往复复的的几几何何特特征征，，蕴蕴含含着着永永恒恒、、无无限限的的意意义义，，因因此此常常被被用用于于各各类类标标志志设设计计。。厂厂商商PowerArchitecture的商商标标就就是是一一条条莫莫比比乌乌斯斯圈圈，，还还有有Aramov公司司的的商商标标，，甚甚至至垃垃圾圾回回收收标标志志也也是是由由莫莫比比乌乌斯斯圈圈变变化化而而来来。。莫比比乌乌斯斯带带的的建建筑筑造造型型概概念念北京京设设计计院院：：北北京京凤凤凰凰传传媒媒中中心心扭结结———三叶叶结结旋转转三三个个半半圈圈的的莫莫比比乌乌斯斯带带再再剪剪开开后后会会形形成成一一个个三叶叶结结。三叶叶结结形形态态的的应应用用埃舍舍尔尔创创作作的的三三叶叶结结国家家科科技技馆馆的的三三叶叶结结雕雕塑塑扭结结———三叶叶结结斯图图加加特特梅梅塞塞德德斯斯奔奔驰驰-博物物馆馆，，UNStudio，2000斯图图加加特特梅梅塞塞德德斯斯奔奔驰驰-博物馆，UNStudio，2000三叶结形态的的应用斯图加特梅塞塞德斯奔驰-博物馆，UNStudio，2000克莱因瓶KleinBottle三维空间中的的克莱因瓶，，没有“内部部”和“外部部”之分。由由德国数学家家菲利克斯·克莱因提出的的。克莱因瓶瓶和莫比乌斯斯带非常相像像。克莱因瓶瓶的结构是，，一个瓶子底底部有一个洞洞，现在延长长瓶子的颈部部，并且扭曲曲地进入瓶子子内部，然后后和底部的洞洞相连接。这这个物体没有有“边”，它它的表面不会会终结。一只只爬在“瓶外外”的蚂蚁，，可以轻松地地通过瓶颈而而爬到“瓶内内”去。克莱莱因瓶是一个个在四维空间间中才可能真真正表现出来来的曲面，把克莱因瓶沿沿着它的对称称线切下去，，得到两个莫莫比乌斯带。。克莱因瓶KleinBottle把克莱因瓶投投影到平面上上，是和中国国阴阳图同构构的。复杂的克莱因因瓶克莱因瓶KleinBottleTheLawson-Kleinbottle克莱因瓶KleinBottleThe8-Kleinbottle克莱因瓶KleinBottle克莱因瓶KleinBottle七桥、四色问问题与突变理理论七桥问题与一一笔画判定、、四色问题与与地图染色突变理论与拓拓扑模型哥尼斯堡七桥桥问题哥尼斯堡城，，城中有一座座岛，普雷格格尔河的两条条支流环绕其其旁，并将整整个城市分成成北区、东区区、南区和岛岛区4个区域，全城城共有7座桥将4个城区连接起起来，如左图图所示。问题题是，一个人人是否能在一一次步行中穿穿越全部的七七座桥后回到到起点，且每每座桥只经过过一次。哥尼斯堡七桥桥问题1736年，当人们将将这一问题向向欧拉请教时时，欧拉用A、B、C、D表示4个城区，用7条线表示7座桥，将哥尼尼斯堡七桥问问题抽象为一一个图的模型型，如右图所所示，求经过过图中每条边边一次且仅一一次的回路（（欧拉回路）），欧拉论证证了在哥尼斯斯堡七桥问题题中，这样的的回路不存在在。拓扑同构下减减少地下管线线的交叉。上上图：水、气气、电供2个建筑，下图图供3个建筑。哥尼斯堡七桥桥问题的应用用哥尼斯堡七桥桥问题后来欧拉将这这一问题进行行了一般化处处理：对于任任意多的节点点和任意多的的连线，给出出了是否存在在欧拉回路的的判定规则：：

（1）如果连接奇奇数条线的节节点多于两个个，则不存在在欧拉回路；；

（2）如果连接奇奇数条线的节节点只有两个个，可以从其其中之一出发发，到另一节节点结束，找找到欧拉回路路；（（3）如果没有一一个节点连接接奇数条线，，则无论从哪哪里出发，都都能找到欧拉拉回路。一个线状图能能一笔画的充充分必要条件件是：没有奇奇点或者只有有两个奇点。。一笔画判定一笔画判定一笔画判定1852年，英国的一一个大学生格格思里（FrancisGuthrie）在一家科研研单位搞地图图着色时，发发现了一种有有趣的现象：：“任何一张地图图只用四种颜颜色就能使具具有共同边界界的国家着上上不同的颜色色。”——四色定理。此后一百多年年，四色问题题仍未解决。。1969年，赫切（HeinrichHeesch）发表了一个个用计算机解解决此问题的的方法。直到到1976年，美国伊利利诺斯大学的的阿佩尔(Appel)和哈肯(Haken)在电子计算机机上，用了1200个小时，作了了100亿判断，完成了四色色定理的证明明，轰动了世世界。四色定理是第第一个主要由由电脑证明的的理论，这一一证明并不被被所有的数学学家接受，因因为采用的方方法不能由人人工直接验证证。最终，人人们必须对电电脑编译的正正确性以及运运行这一程序序的硬件设备备充分信任。。主要是因为为此证明缺乏乏数学应有的的规范，以至至于有人这样样评论“一个个好的数学证证明应当像一一首诗——而这纯粹是一一本电话簿！！”四色定理虽然四色定理理证明了任何何地图可以只只用四个颜色色着色，但是是这个结论对对于现实上的的应用却相当当有限。现实实中的地图常常会出现飞地地，即两个不不连通的区域域属于同一个个国家的情况况（例如美国国的阿拉斯加加州），而制制作地图时我我们仍会要求求这两个区域域被涂上同样样的颜色，在在这种情况下下，四个颜色色将会是不够够用的。四色定理两色填充条件件——单线轮廓三色填充的一一般情况四色填充简化化模型突变论catastrophetheory在自然界和人人类社会活动动中，除了渐渐变的和连续续光滑的变化化现象外，还还存在着大量量的突然变化化的现象，如如水的沸腾、、地层的断裂裂，火山的喷喷发、桥梁的的崩塌、细胞胞的分裂、生生物的变异、、人的休克、、情绪的波动动、战争、市市场变化、经经济危机等等等。突变论用形象象而精确的数数学模型（拓拓扑模型）来来描述和预测测事物的连续续性中断的突突变过程。突突变论是20世纪60年代末法国数学家家托姆提出来的。。1967年托姆发表表《形态发生动动力学》一文，阐述述突变论的的基本思想想，1968年发表《生物学中的的拓扑模型型》，用拓扑模型的形式表述述了生物细细胞分裂中中的各种情情况，为突突变论奠定定了基础。。突变论catastrophetheory更为形象地地解释这一一理论：假假想有一只只玻璃瓶放放在桌面上上，它处处在一个稳稳定的状态态，没有任任何变化，，此为稳定定平衡（StableEquilibrium），用手指指轻推瓶颈颈，不要太太用力。这这时变化产产生，玻璃璃瓶晃动起起来，它在在通过一种种连续性的的方式来吸吸收变化，，此为不不稳定平衡衡（UnstableEquilibrium）。如果停停止推力，，玻璃瓶将将恢复到它它的理想稳稳定状态。。然而，如如果继续用用力推下去去，在推力力达到一定定程度的时时候，玻璃璃瓶便会倒倒下，由由此又进入入了一种新新的稳定平平衡状态。。玻璃瓶的的状态在这这一瞬间就就发生了突突变，一一个非连续续性的变化化就这样产产生了：在在玻璃瓶下下跌的过程程中，没有有任何可能能的稳定中中间状态，，直到它完完全倒伏在在桌面上为为止。再比如拆一一堵墙，如如果从上面面开始一块块块地把砖砖头拆下来来，整个过过程就是结结构稳定的的渐变过程程。如果从从底脚开始始拆墙，拆拆到一定程程度，就会会破坏墙的的结构稳定定性，墙就就会哗啦一一声，倒塌塌下来，这这种结构不不稳定性就就是突变。。托姆详细研研究了各种种突变现象象以后，用用数学拓扑扑模型进行行了描述和和分类。他他证明并得得出结论，，在控制空空间不超过过四维的情情况下，尽尽管突变现现象形形色色色，但总总可以归纳纳为：折叠叠、尖点、、燕尾、蝴蝴蝶、椭圆圆型脐点、、双曲型脐脐点、抛物物型脐点等等七种基本类类型，其中每一一种都有其其基本特征征。这样，，他在奇点点理论的基基础上，以以结构稳定定这一拓扑扑学命题为为基本概念念。1972年，托姆出出版了《结构稳定性性和形态发发生学》一书，建立立了突变理论。。突变论catastrophetheory尖点型突变变蝴蝶型突变变狗咬人是一一种进攻行行为，这种种进攻行为为受两个互互相矛盾的的倾向所约约束：发怒怒或恐惧。。这两种因因素在某种种程度上可可以测量出出来，而这这两种行为为之间的转转变是一种种不连续的的变化。一一只狗的发发怒情况和和张嘴、露露齿的程度度有关，而而恐惧程度度则可以由由它的耳朵朵向后拉平平程度反映映出来。把把这两种行行为和数学学模型结合合起来，就就可计算出出狗是进攻攻还是逃跑跑。用“突变论论”一词在在百度上搜搜索，可以以看到突变变论的广泛泛应用：突变论在经经济预警中中的应用浅析突变论论对心理学学的影响试探《周易》与突变论突变论───关于汉字字起源方式式的探索突变论在预预防硫化矿矿自燃中的的应用研究究基于突变论论的林火蔓蔓延分析突变视域下下的企业发发展与管理理人类大脑进进化基因突突变论：高高智商缘于于短下巴多目标突变变论在城市市用地发展展方向决策策中的应用用——以抚顺市为为例突变论catastrophetheory拓扑几何在在建筑设计计的应用莫比乌斯住住宅、丹麦麦馆、哈萨萨克国立图图书馆、奔奔驰博物馆馆UNStudio将莫比乌斯环环的概念发展展成了一座建建筑，位于阿阿姆斯特丹近近郊的莫比乌斯住宅宅。建筑师以以人在一天的的活动、位移移为主线，运运用数字技术术，将拓扑学学中的莫比乌乌斯环作为建建筑生成的概概念。左图描绘了夫夫妇两人如何何一起生活、、分开工作又又如何相遇在在共享空间。。两个人运行行自己的轨迹迹，有时汇合合，有时甚至至可能会互换换角色。这个个住宅混合了了多种情况，，将不同的行行为置于一个个环形结构之之中，工作、、家庭生活、、独处都能在在环形中找到到自己的位置置。材料（主主要是玻璃和和混凝土）相相互依赖又转转换位置，混混凝土结构在在内部成为家家具而立面上上的玻璃在内内部成为了隔隔墙。莫比乌斯住宅宅UNStudio在这幢住宅里