2011高数考试卷含线代

一 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分11设f(x)ex1,则x0是f(x)的 1ex1（A）可去间断点 (B)跳跃间断点(C)第二类间断点 (D)连续点已知ysinx，则y(10)

cosx3f(x)

sinx,x

则f(x)在x0处 ln(1x),x(A)左、右导数都存 (B)左导数存在，右导数不存(C)左导数不存在，右导数存 (D)左、右导数都不存4

f(x)在[ab(abx(ab时，f(x)0

f(a)0则 f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b f(x)dxF(x) f(ax2b)xdx 5、 ，

F(ax2b)c

1F(ax2b)

1F(ax2b)

；

2aF(ax2b)c6、当x0时，arctan3x与cosx是等价无穷小，则a为 (A)4 (B)3(C)2 7、已知一个函数的导数为y2x，且x1时y2,这个函数是 （A）yx2C；（B）yx2（C）y1x2C;（D）yx28f(x在(abf(a)

f(b),则 （A）至少存在一点(abf()0（B）一定不存在点(abf()0（C）恰存在一点(abf()0对任意的(a,b)，不一定能使f()0。 ln(12x)

x若f(x)

x

在x0处连续，则a 若sin1cos，则d

4极限lim2nsin

（x为不等于零的常数 yln(1ex2),则dy 函数yx3x2x1的极大值点 等边曲线函数xy1在点（1，1）处的曲率为 计算题（共6小题，每小题6分，共36分）lim(3x

x6xet(1cos

dyd2已知y

， dxx2x2xexcos3 x 5.

(x

x 2 x1四 应用题[本题8分设直yax(0a1与抛物y

x2S1,且它们与直线x1所围成的图形的面积为S2试确定a的值,使得S1S2达到最小,并求出最小值求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积. 综合题[本题8分]f(x

f(2)2x0(2xt)fx

5x31,22

f(x)dx六、证明题[本题6f(x在[0,1]上连续，而在(0,1)f(00,f(11，证明对任意给定的正数ab在(0,1)内存在不同的,使下式成立：

f

a一、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分1

f(x)tan2x,g(x)sin5x则当x0时下述结论正确的是

f(xg(x是等价无穷小；

f(xg(x)

f(xg(x

f(xg(x)x1,x2f(x0x

，则x0是函数f(x)的 x1,x(A)跳跃间断 (B)可去间断(C)无穷间断 (D)振荡间断2x3,x3

f(x)

则函数f(x)在x1处的 x2,x(A)可 (B)左导数和右导数都存在但不(C)左导数和右导数只有一个存在 4、已知ycosx，则y(10)(

sinx；

sinx

cosx5f(x00f(xx0点处有极值的（充分条件；（B）充要条件；（D）6F(x)

f(x)，则dF(x) （A）f(x) （B）F(x)（C）f(x)C （D）F(x)Climxxf(t)dt7、设f(x)连续，则xaxa

af(a)

f(a)(C)a (D)08、若f(x)在(a,b)可导且f(a)f(b),则 （A）至少存在一点(abf()0（B）一定不存在点(abf()0（C）恰存在一点(abf()0对任意的(abf(0。二、填空题（本题共6每小题3，共18） f(x)xsinx

x在(,)内连续，则a xysinxcosxy

41极限lim(12x)x ye13xcosx,则dy 函数yx3x2x1的拐点 ABxx(t),yy(tAB点对应参数t，在()x(ty(t则曲线弧AB的长s 三、计算题（共6小题，每小题6分，共36分ytan(xy),

dyd22,2dx

x2 x2exsin5 x1

4

5xxex0四、应用题[本题8设抛物线yax2bxc通过(0,0)0x1y0.又知它和直线x1,y04.试确定a,b,c9图形绕Ox轴旋转一周的旋转体的体积最小.五、综合题[本题8x2sin 设0f(x) dt,求积分设0

六、证明题[本题6f(x在区间[ab上有定义，且对[abx,ybf(xfy)xy，证明b

f(x)dx(ba)f(a)1(ba)22一 填空题（每小题4分，共20分设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则 2设三元线性方程组Axb的两个特解为123]T

111]T，且 RA)2,Axb的通解为[123]Tk[01

(k为任意数二次fxxxx2x2x24xx4xx4x

的标准形是 1 1 3 fy2y2 设三阶方阵A的特征值为0,-1,1,且BA2AE,则B 0

x2x22x24xx2x

，则二次型f的矩阵为 1 2

121二、单项选择题（5201.设A,B都是n阶方阵，下列命题正确的 ）（A）(AB)2A22AB （B）(AB)2(C)(AB)(AB)A2 （D）(AB)TBT2.设A是35矩阵，B是3维列向量，R(A)3.则方程组AX （A）必定有 (B)未必有 （C）必定无 （D）必有唯一A）1 0矩阵A021相似于 C 3

（B）

（C）

（D）

x2x2x22xx2xx 1 2则f为正定的充要条件是满足（ （A）

三、下列各题（663611411420112633

解：原式=

=1(1)12

（ 分1142012000411420120004

=2 52

（1）

（1

求矩阵A 3 解：用初等变换1E]1E][ 1

1

（2

1 0 10r30 1

0所以A1 1x1x2x3x4求齐次线性方程组x2xx2x

2x3x2x3x （用特解和基础解系的形式表示11111 11111 1 1 0A 201011 1 11（2分

0101x1

0与原方程组同解方程0

1

x x X0k11

(k1,k2为任意数（1分AXBXX A 1，B

AXBX得(EAX

因为EA

1

30，所以EA 于是XEA)1B（21 1 1

由于EAB 1

1 1 1

因此X 2（4 0已知矩阵A 2与B 0相似

求x与ytrA解：因为AB相似

A|B

（2分2x82于是有2x2x82yx1y

，化简得xy2（2分xy已知方阵A的属于特征值2的特征向量是1,02]T和2,12]T 又向量2A A2,A AA(22AA4 =4[1,0,2]T+2[2,1,2]T=6[8,

（3分 四、[本题10分]已知矩阵A 0 AAPP1AP为对角矩阵,并求对角矩阵.解（1）AEA

3

(1)2( A的特征值为11（二重

2

（2将11代入特征方程组(EAX0 0X0 121, 12 故矩阵A的属于特征值11的所有特征向量为k11

k1k2不全为（2将22代入特征方程组(EAX0 0 0X0 31 3A的属于特征值22的所有特征向量为k33k30).（2（2）A31,2,3A可相似对角化.（1 令P[] 1， 12 PP1AP为对角矩阵.（310设二次型f(x,x,x)2x2x24xx4xx，用正交变换XUY把f化成1 1 2 （1） 12（1分 |EA|

1

(2)(1)(4) A的特征值2,1,

（1分 1将2代入特征方程得(2AX1

1 1 1 22EA 32 322 1 x1

0

0 1得方程组 2 基础解系[1,2,1x2单位化得1[122]T（1分 2将1代入特征方程得(EAX21 1 1

1 1EA 2 2 0 2

得方程组x

x 1 2基础解系为212]T单位化1[21

（1分 3将4代入特征方程得(4EA)X3 1

x32 12

得方程组

x2 基础解系221]T，单位化1[2