等比数列前N项和

会计学1等比数列前N项和

传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要您的重赏，陛下，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒在第3个格子里放4粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”。“区区小事，几粒麦子，这有何难，来人”，国王令人如数付给西塔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。第1页/共15页=18446744073709551615（粒）

已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨经过计算，我们得到麦粒总数是第2页/共15页

甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？再看另一个问题：分析：数学建模

{an}：100，100，100……100q=1{bn}：1，2，22……229

q=2第3页/共15页S30=100+100+……+100T30=1+2+22+……+229

这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列前n项和的问题。在等比数列{an}中Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an=

na1当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an

=？当q=1时，这个数列有什么特征？其前n项和等于多少？第4页/共15页

S1=a1

S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)

S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)

S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3

=a1(1+q+q2+q3)…………Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+a1q3+…a1qn-1

=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)第5页/共15页由此得从而第6页/共15页

甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？数学游戏问题答案：

230–1(分)＝10737418.23(元)

远大于3000元第7页/共15页n+1判断是非：n2nn个第8页/共15页1、注意q=1与q≠1两种情形2、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。对公式的理解Sn=

a1-anq{1-q(q=1)(q=1)n·a1第9页/共15页例1、求下列等比数列前8项的和第10页/共15页P58---练习1第11页/共15页例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为

5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年产量为则n年内各年的产量为：第12页/共15页

解：由题意，从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列其中∴即两边取常用对数，得∴(年)答：约5年可以使总销售量量达到30000台例3某商场今年销售计算机