第讲集合与映射

会计学1第讲集合与映射第一节集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域第1页/共77页康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念第2页/共77页第3页/共77页2.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。（唯一，互异，无序）第4页/共77页3.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为。空集是任何一个集合的子集：第5页/共77页4.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。第6页/共77页二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念第7页/共77页第8页/共77页一般说来,AB第9页/共77页交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律第10页/共77页1.

实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必

n

Z，使n

a

<

n+1.实数与数轴上的点一一对应.三、实数、区间、邻域第11页/共77页2.

绝对值、距离任一实数a

的绝对值|a|

定义为：数轴上任意两点a，b

之间的距离为

d=|ab|

。第12页/共77页3.区间(1)

闭区间[a,b]={x|a

x

b}ab(2)

开区间(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()第13页/共77页(a,b]={x|a

<

x

b}

(称为左开右闭区间)[a,b)={x|a

x

<

b}

(称为右开左闭区间)(3)

半开闭区间ab。[)第14页/共77页(4)

无穷区间[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)第15页/共77页(5)区间长度有限区间的长度=右端点值－左端点值

不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。

所有无穷区间的长度=+∞第16页/共77页U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x04.邻域第17页/共77页Û(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0第18页/共77页点的某邻域，

记为

U(x0).点

的某去心邻域，

记为

Û(x0).第19页/共77页点x0=3的

=0.1

邻域为点x0=3的去心

=0.1

邻域为例1第20页/共77页四、映射的基本概念1.映射第21页/共77页注意：1)

映射是集合间的一种对应关系.集合X

、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)

对每一个xX，只有唯一的一个yY

值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的第22页/共77页3)

映射的定义不排除几个不同的x

值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....第23页/共77页设f

为集X

到集Y

的一个映射。如果

xX，存在唯一的

y=f(x)Y

与之对应；反过来,若

y

Y,

存在唯一的

x

X

使得

y=f(x),

则称f

是

X

到Y

的一一对应。2.一一对应第24页/共77页第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数第25页/共77页一、函数的基本概念1.函数的定义第26页/共77页第27页/共77页2.

函数的表示法解析法表格法图示法

自己看书！第28页/共77页3.求函数定义域举例

数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。第29页/共77页例1第30页/共77页例2求的定义域。第31页/共77页将

x

表示为:函数y=[x]=“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例3“整数”

+

“正的小数”或

“零”第32页/共77页想想取整函数的图形是什么样子？第33页/共77页例4第34页/共77页

定义域与对应规则均相同的两个函数相同。

如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同第35页/共77页例6第36页/共77页5.函数的图形称为函数f(x)

的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy，则

xy

平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形？第37页/共77页例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859

狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。第38页/共77页单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质第39页/共77页1.单调性

在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。第40页/共77页

在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。第41页/共77页

函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.第42页/共77页

画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。第43页/共77页2.有界性

有界性

有上界

有下界

有界第44页/共77页设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切x

I

恒有A

f(x)

B则称函数y=f(x)在区间I

上有界。否则,称函数y=f(x)在区间

I

上无界。函数有界性的定义第45页/共77页y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数有界示意图

第46页/共77页函数y=f(x)在区间I

上有界你能理解吗?第47页/共77页成立，则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。

若存在实数M(可正，可负)，对一切x

I恒有y=f(x)f(x)≤M第48页/共77页

f(x)≥m在区间I

上是下方有界的,简称有下界。设函数y=f(x)在区间I

上有定义。若存在实数m(可正，可负),对一切x

I

恒有成立，则称函数y=f(x)y=f(x)第49页/共77页

函数y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间I上:xyABO第50页/共77页无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间I

上有下界，则必有若函数间I

上的下确界，记为无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间I上有上界，则必有若函数间

I上的上确界，记为有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界.第51页/共77页如何证明或判断函数无界？提一个问题：第52页/共77页证明或判断无界，通常依据:函数y=f(x)在区间I

上无界，则不论

M>

0的值取得多么大，总使得

|

f(x0

)|>M

成立。第53页/共77页易知：例10解在其定义域内是无界的。

故函数在任何一个有限区间内有界。第54页/共77页3.奇偶性若

xDf,有f(x)=f(x)成立，则称

f(x)为偶函数。偶函数的图形关于y

轴对称。若

xDf,有f(x)=

f(x)成立，则称

f(x)为奇函数。奇函数的图形关于坐标原点对称。

设函数y=f(x)的定义域Df

关于坐标原点对称。第55页/共77页三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！第56页/共77页以下六种简单函数称为基本初等函数1.常值函数

y=C

(C

为常数

)2.幂函数y=x

(

R为常数

)3.指数函数y=ax

(a>0,a1)第57页/共77页4.对数函数y=logax

(a>0,a1)5.三角函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函数y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

y=arcsecx

y=arccscx详情见书第58页/共77页四、复合函数、反函数·····？如何描述第59页/共77页1.复合函数设有映射及的每一个x

所对应的u

值，都属于f(u)的定义域

Df，如果对于映射的定义域(或定义域的一部分

)中那么，将代入消去u

后,就有其中，u

称为中间变量。与称之为函数复合而成的复合函数。第60页/共77页由函数可构成复合函数函数复合后一般应重新验证它的定义域例13第61页/共77页函数复合而成?它是由以下几个函数复合而成:例14解复合函数分解到什么时候为止？

以上过程称为对复合函数的分解

分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.第62页/共77页是一一对应(即映射f

是一一对应),称

f的

f的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.与互为反函数.2。反函数的定义第63页/共77页例16第64页/共77页反函数的图形

将函数y=f(x)的反函数写成x=f

1(y)时，函数与其反函数的图形相同.

将函数y=