分组分解法因式分解

分组分解法(第二教时)分组分解法(第二教时)(一)复习(2)a(m+n)+b(m+n)

(4)(x+y)2-2(x+y)把下列多项式因式分解(1)2x(2)a(m+n)+b(m+n)

(4)(x+y)2-2(x+y)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x)(二)新课讲解1.引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y(2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b(4)2m-2n-4x(m-n)2．应用举例例1.把a2-ab+ac-bc分解因式分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b,这样就可以继续提公因式。解：a2—ab+ac—bc=(a2-ab)+(ac—bc)=a(a—b)+c(a—b)=(a—b)(a+c)例2：把2axT0ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b,这时另一个因式正好都是x-5y,这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能,请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b(2)a2+2ab-ac-2bc(3)a-ax-b+bx(4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3(6)2ax+6bx+5ay+15by(7)mn+m-n-1(8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx(10)x2-2bx-ax+2ab(11)ma2+na2-mb2-nb2四、课外作业把下列各式分解因式1．3．5．7．9．11.13.15.a(m＋n)－b(m＋n)n(x＋y)＋x＋yp(m－n)－m＋na2＋ac－ab－bc2x3－x2＋6x－3xy＋x－y－1x3－2x2y－4xy2＋8y4x3＋4x2y－9xy2－9y2.4.6.8.10.12.14.16.xy(a－b)＋x(a－b)a－b－q(a－b)2a－4b－m(a－2b)3a－6b－ax＋2bx2ax＋6bx＋7ay＋21byax2＋bx2－ay2－by23m－3y－ma＋ayx3y－3x2－2x2y2＋6xy分组分解法(第三教时)分组分解法(第三教时)(一)复习1．提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？2．用分组分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4(二)新课讲解1．例题分析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交换律=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分组=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b)练习:用分组分解法因式分解：再提公因式(1)ac+2b+2a+bc(2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分解因式分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。解：m2+5n-mn—5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)练习：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x(3)x2+yz-xy-xz(5)5am+b-a-5bm(2)5ax2-b2-b2x+5ax(4)4x2+3z-3xz-4x(6)x2-yz+xy-xz四、课外作业把下列各式分解因式1．mn＋m－n－13．m3－m2＋m－15．a2－2b＋ab－2a7．xy－z＋y－xz9．mx3－mx2－mx＋m2．3mx＋4ny＋4my＋3nx4．m3＋m2－m－16．ax＋by＋ay＋bx8．a2x＋by－ay－abx10．a2b－a2c＋a3－abc(一)复习分组分解法(第四教时)分组分解法(第四教时)(3)a2(3)a2-2ab+b2=例5：把x2-y2+ax+ay分解因式1．什么是分组分解法？2．把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd(3)5ax+6by+10ay+3bx3.填空⑴a2-b2二(二)新课讲解1．例题与练习(2)ay2-ax+bx-by2(4)5x2+7a-7ax-5x(2)a2+2ab+b2= 分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y)。解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)练习：把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a2-2ab+b2-c2分解因式分析：用刚才的方法不能见效。我们发现a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此时，原式就变为(a-b)2-C2,再用平方差公式。分组运用完全平方公式运用平方差公式解：a2-2ab+b2—c2=(a2-2ab+b2分组运用完全平方公式运用平方差公式=(a-b)2-c2=[(a-b)+c][(a-b)-c]=(a-b+c)(a-b-c)练习：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1四、课外作业把下列各式分解因式1.4x2－y2－4x＋2y2.b2－a2＋ax＋bx3.m－2n＋m2－4n24.p＋3q－9q2＋p25.s2－t2＋3s－3t6.x2－2x＋2y－y27.4a2－b2－2a－b8.9a2－6a＋2b－b29.x2－2x＋1－y210.m2＋2mn＋n2－p211.4x2－4xy＋y2－16z212.a2－b2－2bc－c213.x2－4y2＋4y－114.x2－y2－z2－2yz(一)复习把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2(4)a2-b2+2bc-c2提问：什么样的多项式可以用分组后运用公式法？(二)新课讲解1．例题与练习例7把下列各式分解因式(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2分析：在第(1)题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。如果将括号去掉，再重新分组，得x2-(4y2-4y+1)，此题可用分组后直接用公式法分解因式。在第(2)题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。注意：必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。解：⑴(x2-4y2)+(4y-1)=x2-4y2+4y-1=x2-(4y2-4y+1)=x2—(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=(x+2y-1)(x-2y+1)(x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=[(x2+y2+2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)练习：把下列各式分解因式(1)(2ab-a2)+(c2-b2) (2)(ax+by)2+(bx-ay)24a2b2-(a2+b2-c2)2例8：把下列多项式分解因式x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2分组分别提公因式提公因式运用平方差公式相同因式写成幂的形式先提公因式分组运用完全平方公式解：⑴x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)(x分组分别提公因式提公因式运用平方差公式相同因式写成幂的形式先提公因式分组运用完全平方公式提问：还有其他解法吗？a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2)=a[a2-(b2-4bc+4c2)]=a[a2-(b-2c)2]=a[a+(b-2c)][a-(b-2c)]运用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c)整理练习：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3(3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-13．作业：把下列各式分解因式(1)x3y3-x2y2-xy+1(2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四、课外作业把下列各式分解因式1.3ax+5ay—6bx—10by2.a2—b2—4a—4b3.m2—4mn＋4n2—44.4—x2—2xy—y25.ax2—ay2＋a2x—a2y6.a3＋2a2b＋ab2—a7.a2b2—a2—2ab—b28.x3—x2y＋xy2—y39.(ax—by)2＋(bx＋ay)210．(m2－4n2)＋(4n－1)11．(a2—m2—n2)2—4m2n2分组分解法(第五教时)(一)复习.什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？.把下列多项式分解因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq(二)新课讲解.引入(1)把x2+(p+q)x+pq分解因式分析此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。这时，可以用分组分解法。x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)另外：我们知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(2)特点式子x2+(p+q)x+pq的特点为：(1)二次项的系数是1。(2)常数项是两个数之积。(3)一次项系数是常数项的两个因数之和。说明：根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。.应用举例例：把下列各式分解因式(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15分析：(1)x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1X2,一次项系数3=1+2。这是一个x2+(p+q)x+pq型式子。(2)x2-7x+6的二次项系数是1,常数项6=(-1)X(-6),一次项系数-7=(-1)+(-6)。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。x2+x-2的二次项系数是1,常数项-2=(-1)X2,一次项系数1=(-1)+2。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。

x2-2x-15的二次项系数是1,常数项-15=(-5)X3,一次项系数-2=(-5)+3,这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。解：(1)因为2=1X2,并且3=1+2,所以x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2)因为6=(-1)X(-6),并且-7=(-1)+(-6),所以x2-7x+6=(x-1)(x-6)(3)因为-2=(-1)X2,并且1=(-1)+2,所以x2+x-2=(x-1)(x+2)(4)因为-15=(-5)X3,并且-2=(-