二面角和向量夹角的关系

提出问题：怎样用平面的法向量来表示二面角的大小?§3.2二面角与向量夹角的关系学习目标异面直线所成的学习目标异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系.学习重、难点重点：异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系.难点二如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角学习过程一、复习回顾：二面角及其平面角的定义，求法(1)求证：EF上平面BCE；平面。与6相交于直线1,平面a的法向量为n1,平面乃的法向量为n2,<n1,n2>=3，则二面角a—1—6为。或n—0.设二面角大小为0，贝V|cos0|==注：由于两条直线所成的角，线面角都不大于直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点.四、达标训练例1、正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，ZAEF=45°(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM〃平面BCE?若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；(3)求二面角F-BD-A的余弦值。二、基础自测1.=CC],A.C.直三棱柱A1B1C1-ABC中，匕ACB=90°,D,,鸟分别为A1B1，则BD1与AE1所成角的余弦值为()12\.'3010A1C1的中点，若BC=CAB.D.\：3015亚1022.角的正弦值为()A.寸C远C.5已知长方体ABCD—AlBlClDl中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBBR所成B垂B.2D远D10三、知识梳理:拓展提升|如图，四棱柱ABCD拓展提升|如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACnBD=O,A1C1nB1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O1底面ABCD;⑵若zCBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.五、随堂练习在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB〃CD,NDAB=60°,FC±平面ABCD,AE±BD,CB=CD=CF.求证：BD上平面AED；求二面角F-BD-C的余弦值五、归纳小结：通过本节学习有哪些收获?：六、布置作业：课本习题复习本节内容

例2：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,ZBAA1=60°.证明:AB±A1C；若平面ABC±平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.课后感悟复习课例1：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC,ABLAC,M是CQ的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°［方法规律总结］求直线与平面所成的角综合几何方法：先找(或作)出线面角，然后通过解直角三角形求.基本步骤是作图一证明一计算.向量几何方法：设直线l的方向向量为a,平面a的法向量为n，l与a所成的角为。，则sin^=a^n.laiini练2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD〃BC,ZBAD=90°,PAL底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求BD与平面ADMN所成的角。.B.B.［方法规律总结］求异面直线所成的角的常用方法是：作图 证明 计算；把角的求解转化为向量运算.若直线&12的方向向量分别为a、b,£与l2夹角为。，则|瑚=器.练1:直三棱柱ABC-A1B1C1中，/BCA=90°,M,N分别是A^,A1C1的中点，BC=CA=CC］,则BM与AN所成的角的余弦值为(1A——A10D.

例3：已知以上平面ABC,ACLBC,PA=AC=1,BC^2.求二面角A~PB~C的余弦值.方法规律总结用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是①异面直线所成的角。仁(0,项，故两直线的方向向量夹角。的余弦值为负时，应取其绝对值；②若直线与平面所成的角仇直线的方向向量和平面的法向量夹角为伊，则其关系为sin0=lcos9l；③若二面角为仇两平面的法向量夹角为。，^皿cosH=IcosqI，需分辨角3是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出.练3：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，/BAD=60°，Q为AD的中点.(1)若PA=PD，求