中学物理中的平均值问题

中学物理中的平均值问题当我们研究的物理量是变量时，经常用一个与其等效的常量来替代，这就是该物理的平均值。使用物理量的平均值，可以使我们有一个大致的数量概念；同时引入平均值可以消除或减小误差，简化数学运算，方便使用。明确平均值的物理意义，弄清平均物理量的特点，掌握求平均值的数学方法，这是对学习运用平均值的三项基本要求。9.1中学物理中几种常见的平均值使用物理量的平均值，除本身的物理意义外，还包含获得这个平均值的数学过程和方法。9.1.1算术平均例如：做匀变速直线运动的物体，初速度为V］、末速度为V2。则物体在这段时间内的平均速度V=匕:匕，这一速度实际上也是物体在这段时间中点的瞬时速度。算术平均值是物理量平均平均值中最简单常见的一种，物理实验中各种数据的处理，基本上都是算术平均值。9.1.2几何平均例如：质量为m的物体由战地心『］远处缓慢提升至距地心r2处，若物体在前后两位置所受的万有引力分别为F1和F2,则物体所受的万有引力的平均值可由下述方法给出：由引GmM t ,t/ ,斗，、，匚力势能公式E=-可知，在提升过程中物体引力势能增量pr△E=-GmM-f-GmM］=GmM(r-r)，由于万有引力做功与路径无关，其数值等prkrJrr2i于引力势能的增量，GmM因此，F(于引力势能的增量，GmM因此，F(r—r)= (r—r)，2 1rr2 1GmMr1r29.1.3调和平均n平均的量只有两个，上式变成了调和平均的定义X= 。若被平均的量只有两个，上式变成了调11 1X+X+……+方12 nX=2X1X。例如汽车发动机的功率一定，当阻力不变时，汽车沿一略倾斜的斜坡向上调X+X2匀速行驶的速率为V］，向下匀速行驶的速率为v2,求汽车在水平路面上行驶的速率。因为汽车发动机的功率一定，因此有：(mgsinQ+^mgcos0)V=^mgV=(^mgcos。-mgsin0)V。由略微倾斜的条件可知cos9=1，从上式中消去sin9理可解得V=2丫2，中学物理中的调和平均还有“两地之V+V间不同速率的往返问题”、“顺水、逆水问题”等，都是在连续相等的两段路程上两个常速的调和平均。9.2两类拓广的平均值问题9.2.1幂平均如果被平均的量是某物理量的平方或高次方，这时的平均就是幂平均，它可由下式求V2+V2H V2出：V2= 2 n-V2+V2一，在研究匀变速直线运动时，若初速度为V^末速度为V2，则物理量、:122就是始末速度幂平均的结果，它实际上就是物体通过这段位移中点时的瞬时速度。用幂平均方法求出的速率就是所谓“方均根速率”寸祐，它与V是不同的。9.2.2加权平均在以上所见的到的各类求平均值的方法中，某一物理量的各原始数据在计算过程中所处的地位都是一样的，但实际上并非始终如此。当它们在被研究的问题中所处的地位不同时，“加权平均”就是合理地反映它们平均过程中“权重”的的一种平均方法。例如：从甲地开往乙地的汽车，先以V］的速度行驶了时间,，又以速度v2行驶了时间t，求汽车从甲地到乙地的平均速度，它的结果V=匕‘1+匕‘2就是典型的加权平均。此外，2 t+1冷热水混合后的平均温度问题、求一条直线上几个不同质量的质点的质心问题、几种不同溶液混合后的密度问题都属于加权平均。9.3求物理量平均值时应注意的问题物理学中平均值问题的特点在于它的量值不仅取决于物理问题的过程和性质，而且还依赖于获得平均值的方法和手段。因此，求物理量的平均值时应注意以下几点：9.3.1j是哪类问题的平均为了确定研究量的平均值的基本属性，首先应根据平均值的定义取平均。如果物理学中的变量是离散型的，那么它的平均值可定义为：X=*^2，这实际i上就是前面所介绍的加权平均。_』X2（X）dX如果物理学中变量是连续型的，那么它的平均值定义为：Y=XX_X，这里被平2 1均的量Y（X）是自变量X的函数。在中学物理中这个积分的结果的一般表述形式可以写成Y=券’即平均值就是积累量对自变量变化的比值。实际上很多物理量的平均值都是以这种方式给出的，如平均速度：V=芸，平均感应电动势E=学等。这种情况告诉我们，在取平均值时要强调平均值的属性和数学处理方法，在求平均值时要强调平均量、积累量和自变量三者间的关系，即强调平均的定义和性质，不能凭经验处理，否则极易发生错误。_ 1 1例如，求平均动能不能直接根据气弓伸2,而必须从定义万伸2出发，因为〃2和V2实际上并不等价；求平均功率时，也不能根据P=FV计算。这是由于平均物理量与一般物理量不同，不能将适用于一般物理量的关系式随意推广到平均物理量。滥用算术平均也是求证时常犯的一种错误，其实算术平均只适用于被平均的量是线性函数的情况，而在大量的实际问题中，被平均的量往往都是非线性的。例如：单摆摆球在14…,_1 一，—、-，，周期内平均速率，矩形线圈在有周期内的平均感应电动势等，这些都不是算术平均。49.3.2对什么平均物理问题的性质决定了物理量的平均值的不同求法。一个物理量在确定的范围内的平均值，取不同的权重时，可能有不同的结果。例如，对加速度取平均，如果以时间为权重，应有：_at+at+•••+at AV+AV+・・・+AVV—Va= 2^2 nn=1 2 = 01 2如果以位移为权重，应有：as+asH Fas-^4 M r^~n~TOC\o"1-5"\h\zs+sF Fs(v2-V2) (v2-V2) (v2-V2)1 0 + 2 1 +...n n-12 2 2V2-V2=—n 02s这里的匕和as是有区别的，它们使用的场合也不尽相同。两种加速度在匀变速直线运动中是等价的但对于一般有恒定规律的非匀变速运动就不一样了。与此类似，对于平均力的计算，也存在同样的问题。若物体在变力作用下沿受力方向由位置I运动到位置II,速度由V]变到V2,经过的时间为Z，则:fF(t)dt^mVTOC\o"1-5"\h\z力对时间的平均：F=A =—tt—t At\o"CurrentDocument"2 ]fF(x^dxW力对空间的平均：F=s =-\o"CurrentDocument"sx-x Ax前者是力对时间的积累效应，是从冲量的角度计算平均力的；而后者是力对空间累积效应，是从功的角度计算平均力的，二者不可混为一谈。9.3.3在什么区间内平均任何一个