江西省赣州市高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

【详解】【详解】【详解】【详解】2019-2020学年江西省赣州市高二上学期 12月月考数学（理）试题一、单选题由这些点图可以1.如图是根据X,y的观测数据（Xi，yi。=1,2，…,10得到的点图,由这些点图可以判断变量x,y具有线性相关关系的图（ ）①②③D.③④①④是明显的线性A.①② B.①④ D.③④①④是明显的线性【答案】B【解析】通过观察散点图可以得出，②③没有明显的线性相关关系;相关.【详解】由题图知，②③的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；①中y随X的增大而减小，各点整体呈下降趋势， X与y负相关；④中y随X的增大而增大，各点整体呈上升趋势， y与X正相关.故选：B.【点睛】本题考查了通过散点图判断两个变量之间的线性相关，是基础题目.2.命题VxWR,X2—2x+4<0”的否定为（ ）A.VxWR,X2-2x+420B.三Xo亡R,x（2—2xo+4>0C.Vx^R,x2-2xo+4之0D.三X0皂R,X2—2X0+4之0【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，判断出正确选项

原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，条件不用否定，由此确定B选项正确.故选：B.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题TOC\o"1-5"\h\z3.顶点在原点，焦点是（0,3）的抛物线的方程是（ ）2 2 2 1 2 1A.y=12x B.x=12y C.y=—x D.x=y\o"CurrentDocument"12 12【答案】B【解析】根据题意，由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且 上=3,解可得p的值,2据此分析可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的顶点在原点，焦点是（ 0,3）,则抛物线开口向上且^=3,解可得p=6,2则要求抛物线的方程为x2=12y；故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及标准方程，属于基础题.4.为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为 1004.为了了解某次数学竞赛中名学生成绩入样的机会是 （ ）1一1020-11一1020-150D.1100【解析】【详解】因为随机抽样是等可能抽样，每名学生成绩被抽到的机会相等 ，都是-100-=—.故选A.100010 11.5.如图所示，执行该程序框图，为使输出的函数值在区间［一,一］内则输入的实数x的取42值范围是（ ）

A.(—00,—2][-2,-1][-1,2][2,依)【解析】该程序的作用是计算分段函数f(x)=<A.(—00,—2][-2,-1][-1,2][2,依)【解析】该程序的作用是计算分段函数f(x)=<2Xx2-2x -,2-2一的函数值.根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间 .|—,—内，即可得到答案.,42分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是2x,x：=1221计算分段函数f(x)=/2x-二,2一2的函数值.又•「输出的函数值在区间1]本题考查了条件结构的程序框图,由流程图判断出程序的功能是解答本题的关键,属于11一小1x1厂,一内，1<2x<1,[42_ -的函数值.又•「输出的函数值在区间1]本题考查了条件结构的程序框图,由流程图判断出程序的功能是解答本题的关键,属于基础题.则恰好选中6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动,2名女生的概率为（则恰好选中1A.一10【答案】C1B.一53C.一10D.”，由题意确定【解析】先设A表示从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生事件A包含的基本事件个数，以及总的基本事件个数，进而可求出结果”，由题意确定依题意，设A表示从中任选2名学生去参加活动，恰好选中 2名女生”,

2则事件A包含的基本事件个数为C3=3种,而基本事件的总数为C；=10,3所以P(A),10故选：C.【点睛】本题考查求古典概型的概率，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.7.若直线11:ax+2y+6=0与直线lz：x+(a—1)y+5=0垂直，则实数a的值是( )A.2 A.2 B,13【答案】A【解析】根据直线的垂直关系求解.【详解】由11与12垂直得：a1+2(a—1)=0,解得a故选A.【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系8.矩形长为8,宽为3,在矩形内随机地撒颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为A.7.68 B.8.68C.1 D.222=3，，属于基础题.300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为 96()C.16.32 D,17.32【解析】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积【详解】 300—96 204由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为： p= =丝=0.68,300 300又p=1^=工=0.68,解得：$椭圆二32父0.64之16.32务方形46故选：C【点睛】本题主要考查了概率模拟及其应用，属于基础题。9.两平行直线2x+y—1=0与2x+y+3=0间的距离为(A直 b,2/5 c.3/5 d*5 5 5 5【答案】D【解析】运用两平行直线的距离公式即可得到结论.【详解】根据两平行线间的距离公式得：d=1=3==9=4^5.故选：D.【点睛】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题..圆Oi：x2+y2—2x=0与圆O2：x2+y2—2y=0的位置关系是( )A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】B【解析】利用配方法，求出圆心和半径，结合圆与圆的位置关系进行判断即可.【详解】两圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,和x2+(y-1)2=1,对应圆心坐标为Oi(1,0),半径为1,和圆心坐标O2(0,1),半径为1,则圆心距离|。1。2|=亚,则0<|O1O2|<2,即两圆相交，故选：B.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断， 求出圆的标准方程，利用圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键，比较基础..已知三棱锥A—BCD中，AB=CD=J5,AC=BD=2,AD=BC=J3,TOC\o"1-5"\h\z若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )3yA.— B.24n c16n D.6兀【答案】C【解析】作出三棱锥A-BCD的外接长方体AEBF-GDHC,计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积 .【详解】【详解】【详解】【详解】作出三棱锥A-BCD的外接长方体AEBF-GDHC,如下图所示:设DG=x,DH=y,DE=z,则AD2=x2+z2=3,DB2=y2+z2=4,DC2=x2+y2=5,2 2 2 2 2 2上述二个等式相加得AD+BD+CD=2(x+y+z)=3+4+5=12,所以，该长方体的体对角线长为尸。7=忖则其外接球的半径为R*,因此，此球的体积为4nM：乂6 =病.3I2J故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算， 将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为TOC\o"1-5"\h\z外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题 ^_ _ 2 212.直线x—J3y+£=0经过椭圆与+与=1但Ab>0)的左焦点F,交椭圆于abA,B两点，交y轴于C点，若EC=2CA,则该椭圆的离心率是()― -.3-1 — — —A6-1 B-^― C272-2 D血-1【答案】A【解析】由直线x—J3y+J3=0过椭圆的左焦点F,得到左焦点为F(-J3,0),且\o"CurrentDocument"2 2oa-b=3,t— rm3 -十六再由FC=2CA，求得A—,-，代入椭圆的方程，求得a2=3336进而利用I22) 2椭圆的离心率的计算公式，即可求解 .由题意，直线x—J3y+，3=0经过椭圆的左焦点F,令y=0,解得x=J3,TOC\o"1-5"\h\z所以c=J3,即椭圆的左焦点为F(—J3,0),且a2—b2=3 ①直线交y轴于C(0,1),所以，|OF=73,OC=1,FC=2,因为FC=2CA,所以FA=3,所以A*,3,I22J\o"CurrentDocument" 3 9又由点A在椭圆上，得f+f=4 ②ab由①②，可得4a2-24a2+9=0,解得a2=延上6,22c2 6 - — 2所以e=—2=——,==4—2V3=(y/3—1),a3.36所以椭圆的离心率为e=.,；3-1.故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质一一离心率的求解，其中求椭圆的离心率 (或范围)，常见有c两种万法：①求出a，c,代入公式e=一；②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c的齐a次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围).二、填空题2 2 2 213.已知圆Ci：x+y—4x+2y=0与圆C2：x+y—2y—4=0.求两圆公共弦所在直线白^方程.【答案】x-y-1=0【解析】根据相交圆的公共弦所在直线的方程求法： 将两个圆的方程化为标准形式或者TOC\o"1-5"\h\z一般形式，然后两个圆的方程相减得到的方程即为两圆公共弦所在直线的方程 ^【详解】\o"CurrentDocument"2 2 2 2因为圆G：x+y—4x+2y=0与圆C2：x+y—2y—4=0；. 2 2 2 2由(x+y-4x+2y)-(x+y-2y-4)=0,可得Yx+4y+4=0,即x—y—1=0,所以两圆公共弦所在直线的方程为： x-y-1=0.故答案为：x—y_1=0.【点睛】本题考查相交圆的公共弦所在直线的方程的求解，难度较易.如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图,其中O'A'=6,C'D'=2,则原图形面积是【答案】24.2【解析】把矩形O'A'B'C'的直观图还原为原平面图形，再根据斜二测画法得出对应边长与高，求出原图形的面积.【详解】把矩形O'A'B'C'的直观图还原为原平面图形，如图所示；由O'A'=6,C'D'=2,得出OD'=2亚，所以OA=6,OD=4J2,所以原图形OABC的面积是：S平行四边形=6X4\[2=24^/2•故答案为：24、2【点睛】本题考查了斜二测画法与应用问题，也考查了平面图形面积计算问题，是基础题..如图所示，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,线段BQi上有两个动点E、2且EF=—,则下列结论中正确的是.①EF//平面ABCD;②AAEF的面积与ABEF的面积相等；③平面ACF，平面BEF;④三棱锥E-ABF的体积为定值.【答案】①③④【解析】证明B1D1//BD,得EF//平面ABCD①正确；AAEF与高不同②错误；证明AC，面881口1口，③正确；ABEF的面积为定值，AO为三棱锥A-BEF底面BEF上的高为定值，④正确【详解】①在正方体ABCD—AB1C1D1中，B1D1//BD,且BDu平面ABCD,B1D1s平面ABCD, EF//平面ABCD,故①正确；②点A到EF的距离大于BBi，.一MEF的面积与ABEF的面积不相等，故②错；③在正方体ABCD—ABiCiDi中，AC_LBD,BB〔_LAC,..AC_L面BB1D1D,又面BBiDiD与面BEF是同一面，AC仁面ACF平面ACF_L平面BEF,故③正确；_ , 1 一，④ABEF中，EF=—,EF边上的高BB1=1,ABEF的面积为定值，:AC_L面2BDDiB,AO,面BDDiBi, AO为三棱锥A—BEF底面BEF上的高，，三棱锥A-BEF的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④.【点睛】本题考查空间几何体中线面平行，面面平行，面面垂直，以及三角形面积，三棱锥体积

的求法，准确推理是关键，是中档题2 2.已知椭圆C：>+4=1（a>b>0）的左，右焦点分别为Fi,F2,焦距为2c,Pab是椭圆C上一点（不在坐标轴上），Q是/F1PF2的平分线与x轴的交点，若QF2=2OQ,则椭圆离心率的范围是【答案】Li3【解析】由已知结合三角形内角平分线定理可得PF【解析】由已知结合三角形内角平分线定理可得PFi|=2|PF2|,再由椭圆定义可得|PF2|=2a,|PF2|=2a,得到a-c<3交集得答案.2a——<a+c,从而得到3ci-e=—>—,再与椭圆离心率的范围取a3=2OQ4QFi=2OQ4QFi=—c3•••PQ是/F1PF2的角平分线,PF24

c

=3-=2,PF24

c

=3-=2,2 ，c3则PFi=2PF2，由PFi+PF2=3PF2=2a,得PF2二2a3，由a—c<由a—c<2a<a+c,可得

3ci_ i，e=—a一,由0<e<i,，椭圆离心率的范围是.二，i.a3 3故答案为：.一,i13）【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题.三、解答题.已知命题p:关于x的方程x2+（m-3）x+m=0的一个根大于1,另一个根小于

2X1.命题q：NJ—1,1),使x2.x-m=0成立，命题s：万程4-m2.工m1的图象是焦点在2.工m1的图象(2)若pyq为真，「q为真，求实数m的取值范围.1⑴0,2(2)-二，-4(1)结合椭圆的标准方程，求出命题为真命题的等价条件即可.(2)若pVq为真，「q为真时，则(2)若pyq为真，「q为真，求实数m的取值范围.1⑴0,2(2)-二，-4(1)结合椭圆的标准方程，求出命题为真命题的等价条件即可.(2)若pVq为真，「q为真时，则p真假q,求出对应的范围即可.2 2(1)命题s为真时，即命题s:方程+工=1的图象是焦点在x轴上的椭圆为真;4-mm，4—m〉mA0,，0cm<2；故命题s为真时，实数m的取值范围为：(0,2)；2(2)当命题P为真时，f(x)=x+(m-3)x+m满足f(1)<0,即2m-2<0,所以m<1.命题q为真时，方程m=x2-x在(T,1优■解,当x1—1,1)时,2一1 )一一1 ) x-x=J--,2J,则m=i--,2,由于P^q为真,14 ) 44)「q为真;工m：二11所以q为假，P为真；则得1 1一.；•••m<—；|mc——或m々2 44故pyq为真，飞为真时，实数m的取值范围为一二」,4本题主要考查复合命题真假关系的判断，求出命题p,q,s为真命题的等价条件是解决本题的关键.属于基础题.18.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人 5次数学考试的成绩，统计结果如下表：A次第二次第三次第四次第五次甲的成绩(分)8085719287

乙的成绩（分）9076759282（1）若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适 ？请说明理由.（2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰 .方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二【解析】（1）可以用两种方法决定参赛选手，方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得 85以上（含85分）的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.（1）解法一：甲的平均成绩为 ％=8085719287（1）解法一：甲的平均成绩为 ％=8085719287=83；,的,的pm#〃主4— 90 767592 82的乙的平均成绩为X2= =83515 -2甲的成绩万差s,=一£(xi—x)=50.8；5y15 -2乙的成绩万差为s2=-£(xi—x)=48.8；5«由于X1=X2,s2AS2,乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：3从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率P1=-,乙获得85分以上（含85分）5，…一 2的概率P2=一5因为P>P2故派甲参赛比较合适，（2）5道备选题中学生乙会的3道分别记为a,b,c,不会的2道分别记为E,F.方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a,b,c,E,F共5种,

抽中会的备选题的结果有 a 3所以学生乙可参加复赛的概率 P=—15方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(a,b,c),(a,b,E5(a,b,F),(a,c,Eb(a,c,F1(a,E,F),(b,c,E),(b,c,F卜(b,E,F),(c,E,F),共10种,抽中至少2道会的备选题的结果有:(a,b,c卜(a,b,E),(a,b,F),所以学生乙可参加复赛的概率 P2(a,b,c卜(a,b,E),(a,b,F),所以学生乙可参加复赛的概率 P210因为P<P2,所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大本题主要考查平均数和方差的计算， 考查古典概型的概率的计算和决策， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力PA_L平面.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2PA_L平面ABCD,PA=2,^ABC=60,E是BC中点，若H为PD上的点，AH=J2.（2）求三棱锥P—ABH的体积.【答案】（1）见解析； （2）昱【解析】（1）根据平行四边形的性质，证得EH//BM,利用线面平行的判定定理，即可证得EH//平面PAB.

(2)由(1)得到E,H到平面PAB的距离相等，根据Vp.ABH=Vh上AB=Ve上AB=Vp/BE,即可求解.【详解】(1)由题意，可得PA=AD=2,AH=J2,所以H为PD的中点,取PA的中点M,连接HM,MB,… 1 1则HM=—AD且HM//AD,BD=—AD且BD//AD,2 2所以HM//BD且HM=BD,所以四边形DHMB为平行四边形，所以EH//BM,又由EH值平面PAB,BM仁平面PAB,所以EH//平面PAB.(2)由(1)可知EH//平面PAB,则E，H到平面PAB的距离相等,所以VpubH=V所以VpubH=VH.PAB=VE-PAB-VP-ABE=二SABEPA=二~SABCPA3 32P【点睛】P【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明， 以及几何体的体积的计算，对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略： ①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、 锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解..已知点A(1,1),B(—1,3).(1)求以AB为直径的圆C的方程；(2)若直线x—my+1=0被圆C截得的弦长为J6,求m值.2 2 1【答案】⑴x+(y—2)=2.(2)m=1或,

【解析】(1)根据题意，有A、B的坐标可得线段AB的中点即C的坐标，求出AB的长即可得圆C的半径，由圆的标准方程即可得答案;(2)根据题意，由直线与圆的位置关系可得点 C到直线x-my+1=0的距离d==_J,d==_J,结合点到直线的距离公式可得2-2m+l|& 杷, ।=——,解可得m的1 m2 2值，即可得答案.(1)根据题意,值，即可得答案.(1)根据题意,点A(1,1),B(—1,3),则线段AB的中点为(0,2)，即C的坐标为(0,2)；圆C是以线段AB为直径的圆，则其半径r圆C是以线段AB为直径的圆，则其半径r1A。1=一AB=—J(1+1)2+(1-3；2=42,圆C的方程为2 2x2 y-2 =2.(2)根据题意，若直线x-my+1=0被圆C截得的弦长为J6,则点C到直线x—my+1=0的距离d则点C到直线x—my+1=0的距离d=r2J旬=立2 2-2m1又由d=1, ।,|-2m11 m21 m2 2变形可得:7m2-8m+1=0,解可得m=1股1或一.7【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算,涉及圆的标准方程，属于基础题..如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且AABE和AABF均为等腰直角三角形，且 90°.E(I)若平面ABCD1平面AEBF,证明平面BCF1平面ADF；(n)问在线段EC上是否存在一点G,使得BG//平面CDF,若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥G-ADF的体积之比.【答案】(I)见证明；(n)见解析【解析】(I)根据ABCD为矩形，结合面面垂直性质定理可得 BC1平面AEEF,即BC'AF,结合AF,BF,即可得AF1平面BCF,最后根据面面垂直判定定理可得结果;(n)首先易得BCII平面ABF,再证BEII平面ADF,进而面面平行，延长EB到点H,使得BH=AF,可得HFDC是平行四边形，过点E作CH的平行线，交EC于点G,此G即为所求，通过VG谀"夫CABE=KeABF=■口与BF-ADF=ADF可得^果.【详解】(I)「ABCD为矩形，BCXAB,又平面ABCD±平面AEBF,BC匚平面ABCD,平面ABCD平面AEBF=AB,BC,平面AEBF,又.AFC平面AEBF,BCXAF.•••/AFB=90,即AF±BF,且BC、BF仁平面BCF,BCDBF=B,「•AF，平面BCF又AF匚平面ADF,平面ADF1平面BCF.(2)•••BC//AD,AD匚平面ADF,「.BC//平面ADF.AABE和AABF均为等腰直角三角形，且Z.BAE=£AFE=90°,/FAB=/ABE=45,「.AF//BE,又AF匚平面ADF,「.BE//平面ADF,•••BCDBE=B,「.平面BCE//平面ADF.延长EB到点H,使得BH=AF,又BCMD,连CH、HF,易证ABHF是平行四边形，HF_AB_CD, HFDC是平行四边形,•.CH//DF.过点B作CH的平行线，交EC于点G,即BG//CH//DF,(DF仁平面CDF)BG//平面CDF,即此点G为所求的G点.又BE=^2AB=2AF=2BH，.-EG-=EC,又与aBE=凡ABE,2t 4t 4 4t 4.“G-ABE=#C-ABE=/C-AHF/D-ABF/-ADF=/g-UDF，【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，强调 线线垂直”线面垂直”面面垂直”之间可以相互转化，通过线线平行得到线面平行，等体积法求三棱锥的体积，考查了空间想象能力，属于中档题.2 2 _22.已知椭圆C：・+4=1(aAbA0),长半轴长与短半轴长的差为2-J3,离心ab率为—.2(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若在x轴上存在点M,过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 2+ 2为定值，求点M的坐标.PMQMx2v2 22用【答案】(1)土+上=1(2)Mj±2^7,0\o"CurrentDocument"43 V7 )c1【解析】(1)由题息^可得：a-b=2_J3,—=一，a2=b2+c2.联立解得：a,c,b.可

、a2得椭圆C的标准方程.(2)设M(t,0),P(xi,yi),Q(X2,Y2).分类讨论