上海金川中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

上海金川中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.若，则“”的一个充分不必要条件是A． B． C． D．参考答案：C，，当且仅当时取等号.故“”是“”的充分不必要条件.3.某种实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有A．24种

B．48种

C．96种

D．144种参考答案：C4.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝f（x），且在区间［0,2］上是增函数，则当时不等式参考答案：A5.过双曲线上任意一点，作与轴平行的直线，交两渐近线于两点，若，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6.已知平面向量，，，则||的最小值是（

）

A.2

B.

C.

D.参考答案：D7.设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为

()A．1，－1

B．2，－2

C．1，－2

D．2，－1参考答案：B8.设函数，则下列结论正确的是A．的图像关于直线对称

B．的图像关于点对称C．的最小正周期为

D．在上为增函数参考答案：D由，所以在上为增函数，故选D。9.函数的反函数是A．

B．C．

D．参考答案：答案：A10.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：因为,而,所以最大时,最小,最小.结合图象可知点,故的最大值为,则,应选C.考点：线性规划、二倍角的余弦等有关知识的综合运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数若是的三条边长，则下列结论正确的是_____

_.(写出所有正确结论的序号)①②③若参考答案：①②③略12.（07年宁夏、海南卷文）已知是等差数列，，其前5项和，则其公差．参考答案：答案：解析：

13.函数的零点为

.参考答案：114.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=

.13.参考答案：2.

由余弦定理知，.15.复数的共轭复数是__________.参考答案：答案：

16.已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是_

_.参考答案：10

【知识点】二项式定理J3解析：由得，，令得，故含项的系数为．【思路点拨】先由二项式的展开式的二项式系数之和求出n,再利用二项式展开式的性质即可.17.设满足约束条件：；则的取值范围为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）已知a＞1设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：x1lnx1﹣ax12+1＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，所以f′（x）=2在（0，+∞上有解，即﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a=在（0，+∞）上有解，所以2+2a＞0，得a＞﹣1，故所求实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；（2）证明：因为g（x）=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞a，因为x1lnx1+1﹣a=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣﹣+lnx，记p（x）=﹣﹣+lnx，x∈（0，1），则p′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．19.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上(如图1)，且BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′(如图2).（1）求证：A′D⊥EF；（2）BFBC时，求点A′到平面DEF的距离.参考答案：（1）证明见解析.（2）【分析】（1）推导出A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，由线面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，由此得证.

（2）设点A′到平面DEF的距离为d，由VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，能求出点A′到平面DEF的距离.【详解】（1）由ABCD正方形及折叠方式，得：A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，∵A′E∩A′F=A′，∴A′D⊥平面A′EF，∵EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF.（2）∵，∴，∴，∴DE=DF，∴，设点A′到平面DEF的距离为d，∵VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，∴，解得d.∴点A′到平面DEF的距离为.【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.（本小题满分14分）

已知数列的前项和为，通项满足（是常数，且）。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设函数，若对都成立，求正整数的值。参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得

所以…1分

当时，，所以

……………2分

故数列是以为首项，公比为的等比数列

所以

……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，

所以

………7分（Ⅲ）因为所以

………………9分

所以

所以

………………11分

由对都成立，即对都成立

须有

而当时，随的增大而增大

所以

…………………13分

又为正整数，所以的值为1,2,3

所以使对都成立的正整数的值为1,2,3.

…14分略21.（2015?万州区模拟）已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|≤（a+）（+b）对任意正实数a、b恒成立，求实数x的取值范围．参考答案：【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：将不等式的右边化简，运用基本不等式可得最小值为4，则需解不等式|x+1|+|x﹣2|≤4，讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜2时，当x≥2时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．解析：由于a，b＞0，（a+）（+b）=2+ab+=4，当且仅当ab=1时取“=”号，∴（a+）（+b）的最小值为4，∴|x+1|+|x﹣2|≤4，当x≤﹣1时，﹣x﹣1+2﹣x≤4，解得，x≥﹣，则有﹣≤x≤﹣1；当﹣1＜x＜2时，x+1+2﹣x≤4，即3≤4成立，则有﹣1＜x＜2；当x≥2时，x+1+x﹣2≤4，解得，x≤，则有2≤x≤．综上x的取值范围是[﹣，]．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．22.已知抛物线的焦点为，定点与点在抛物线的两侧，抛物线上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与圆和抛物线交于四个不同点，从左到右依次为，且是与抛物线的交点，若直线的倾斜角互补，求的值.参考答案：(1)；(2).试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与抛物线的位置关系建立方程探求.试题解析：（1）过作于，则，当共线时，取最小值.解得或.当时，抛物线的方程为，此时，点与点在抛物线同侧，这与已知不符.∴，抛物线的方程为.（