上海萌芽实验中学2023年高三数学文模拟试卷含解析

上海萌芽实验中学2023年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（多选题）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（

）A.抛物线的方程是 B.抛物线的准线是C.的最小值是 D.线段AB的最小值是6参考答案：BC【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得，设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求的最小值.【详解】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，点到焦点的距离等于3，可得，解得，则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，由，消去得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为，在等腰中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，故选：BC.【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.2.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略3.直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B． C． D．参考答案：B【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选B．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．4.一个体积为12的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（）A．12 B．8 C．8 D．6参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为2，∴底面三角形的边长为=4，∴三棱柱的体积为V三棱柱=×4×2h=12，三棱柱的高为h=3；∴侧视图的面积为S侧视图=2×3=6．故选：D．5.已知集合A={x|x2-4|x|≤0}，B={x|x＞0}，则A∩B=（）A.(0,4] B.[0,4] C.[0,2] D.(0,2]参考答案：A【分析】先求出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】A={x|-4≤x≤4}；∴A∩B=（0，4]．故选：A．【点睛】本题主要考查了集合描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于中档题．6.已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得参考答案：D【考点】余弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，即T=，∴ω=2，则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．7.已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(1，＋∞)

B．1，＋∞)C．(2，＋∞)

D．2，＋∞)参考答案：C8.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0]

B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)

D．[0,2]参考答案：D9.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略10.设x，y满足约束条件则的最小值为A.－3

B.－2

C.－1

D.2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是周期为2的奇函数，当时，=，则=

．参考答案：由是周期为2的奇函数可知，.12.如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝，AC＝)沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y＝，则在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为

．

参考答案：略13.已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是

.参考答案：14.复数z=（1﹣2i）2+i的实部为

．参考答案：﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，则复数的实部可求．【解答】解：z=（1﹣2i）2+i=12﹣4i+（2i）2+i=﹣3﹣3i，∴复数z=（1﹣2i）2+i的实部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15.函数在上是单调函数，则b的取值范围是

。参考答案：16.已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________参考答案：96

略17.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是坐标原点，点、是两曲线的交点，若，则双曲线的实轴长为

.参考答案：

【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：抛物线与双曲线有相同的焦点，点的坐标为（1，0），，⊥轴.设点在第一象限，则点坐标为（1，2）设左焦点为，则=2,由勾股定理得，由双曲线的定义可知.【思路点拨】求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，运用向量的数量积的定义可得点坐标，再由双曲线的定义可得结论。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?上海模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Pn，且a1=b1=1．（1）设a3=b2，a4=b3，求数列{an+bn}的通项公式；（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，求满足Sn=Pm的所有正整数n、m；（3）若存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，试比较Sm与Pm的大小，并说明理由．参考答案：【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a3=b2，a4=b3，a1=b1=1建立关系求解an，bn的通项公式，可得数列{an+bn}的通项公式；（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式建立关系，利用函数的极值思想，求解n、m的关系，可得答案．（3）存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，可得1+（m﹣1）d=qm﹣1＞0．利用作差法证明，需对q=1或q＞1进行讨论求解即可．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，∵a1=b1=1．a3=b2，a4=b3，∴1+2d=q，1+3d=q2，联立解得d=0，q=1；d=，q=．∴d=0，q=1时，an=1，bn=1，an+bn=2．d=，q=时，an=1﹣（n﹣1），bn=，an+bn=+．（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，∴d≠0，d=﹣，q=，Sn=n+，Pm==2﹣．n+=2﹣＜2，解得：n＞或n．满足Sn=Pm的所有正整数n、m为：，，，，（3）存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，1+（m﹣1）d=qm﹣1＞0．1，1+d，1+2d，…，1+（m﹣1）d．1，q，q2，…，qm﹣1．下面证明：1+（m﹣2）d≥qm﹣2．①m=3时，若a3=b3，则1+2d=q2，作差1+d﹣q=1+﹣q=≥0，因此S3≥P3．②假设m＞3，作差：1+（m﹣2）d﹣qm﹣2=1+（m﹣2）﹣qm﹣2=qm﹣1﹣qm﹣2﹣①若q=1，则（m﹣1）d=0，可得d=0．Sm=m+d=m，Pm=m，此时Sm=Pm．②若q≠1，则q＞0．Sm=，m+d，Pm===．此时Sm﹣Pm＞0．∴存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，Sm≥Pm．【点评】本题主要考查了等差数列，等比数列，前n项和以及讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点.（1）求证：平面PAB；（2）设二面角A-PB-C的大小为，求的值.参考答案：解：（1）因为底面，所以． 因为△是正三角形，是的中点，所以． 所以，平面． （2）（几何法）作于，连，则．所以，是二面角的平面角． 因为，，所以，．从而，故． ┅15分（向量法）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图．平面的一个法向量． ，．设是平面的法向量，则，取法向量． 故．略20.（本题满分12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求的分布列及数学期望．参考答案：（Ⅰ）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意，得

解得或，∴.

即，一个零件经过检测为合格品的概率为.

（Ⅱ）依题意知～B(4,)，分布列为，其中，.

21.（本题满分12分）如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(Ⅰ)求炮的最大射程;(Ⅱ)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.参考答案：(1)在中,令,得.由实际意义和题设条件知.∴,当且仅当时取等号.∴炮的最大射程是10千米.………………（6分）(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,即