上海清华中学2022年高二数学理期末试题含解析

上海清华中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则A∩B=（

）A.{－1,0} B.{0,1}C.{－1,0,1} D.{－2,0,1,2}参考答案：A【分析】解出集合，利用交集的定义可得出集合.【详解】，，.故选：A.【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也涉及了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．35参考答案：C【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数【解答】解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.03∴身高在[120，130]内的学生人数在样本的频率为0.03×10=0.3故身高在[120，130]内的学生人数为0.3×100=30故选C【点评】本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力3.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线交椭圆x2+4y2=4于A,B两点,则|AB|的最大值是(

)A.2

B.4

C.3

D.2参考答案：A4.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（

）.A．60° B．90° C．105° D．75°参考答案：B略5.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②

B．①③

C．①④

D．②④参考答案：D6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则AB的长为（）A. B. C.2 D.8参考答案：B【分析】依题意由的面积为，解得，所以，，根据勾股定理即可求．【详解】依题意，因为的面积为，所以，解得，所以，，又因为，由勾股定理得：．故选：B．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x轴平行线段仍然与轴平行且相等；二是与y轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.7.用数学归纳法证明+++…＜1（n∈N*且n＞1）由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（）A． B．+﹣C．+﹣ D．+﹣﹣参考答案：B【考点】数学归纳法．【分析】分别写出n=k、n=k+1时不等式左边的表达式，然后相减即得结论．【解答】解：当n=k时，左边=+++…+，n=k+1时，左边=++…+++，两式相减得：+﹣，故选：B．8.下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是（）A．已知圆的半径求圆的面积B．随意抽４张扑克牌算到二十四点的可能性C．已知坐标平面内两点求直线方程D．加减乘除法运算法则参考答案：B9.不等式组表示的平面区域的面积为（）

A．

B．

C．

D．无穷大参考答案：D10.点p（x，y）是直线x+3y﹣2=0上的动点，则代数式3x+27y有（）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值6参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则

；参考答案：12.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的取值范围是

.参考答案：13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，且=，则=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差数列，即可得出结论．【解答】解：设S3=1，则S6=3，∵等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差数列，∴S9=6，S12=10，∴=．故答案为：．【点评】正确运用等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差数列是关键．14.在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】压轴题；数形结合；不等式的解法及应用．【分析】画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，求出a，b的关系式，利用基本不等式，可求ab的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图3个顶点是（1，0），（1，2），（﹣1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值1，此时a+2b=1，∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：1≥∴ab，当且仅当a=，b=时，取等号∴ab的最大值等于故答案为：【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．15.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．参考答案：9【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为

．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】当直线的斜率不存在时，即和x轴垂直时，面积最小，代值计算即可．【解答】解：抛物线焦点为（，0），当直线的斜率不存在时，即和x轴垂直时，面积最小，将x=代入y2=3x，解得y=±，故S△OAB=××2×=．故答案为：17.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为___________．参考答案：∵底面面积是，∴底面半径是，又∵圆锥侧面积为，，∴，且圆锥高，∴圆锥的体积为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的斜率为，且过点和椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F2，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线（其中2c为焦距）上，直线m过椭圆左焦点F1交椭圆C于M、N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若，求直线m的方程； （3）设（O为坐标原点），当直线m绕点F1转动时，求λ的取值范围． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用点斜式即可得出直线l的方程，令y=0即可得出椭圆的焦点（c），利用轴对称的性质即可得出原点关于l的对称点，利用准线方程x=，即可得出a，再利用b2=a2﹣c2即可得到椭圆的方程； （2）由题意方程可得F1（﹣2，0），F2（2，0），设直线MN的方程为x=ty﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理以及向量的模的运算，解方程可得t，进而得到所求直线的方程； （3）运用向量的数量积的定义，可得||||sin∠MON=λ，即有λ=S△MON=|OF1||y1﹣y2|，再由韦达定理和基本不等式，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）由题意可得直线l：y=x﹣2， 令y=0，解得x=2，可得c=2， 即椭圆的焦点为（±2，0）， 设原点关于l的对称点为（x，y）， 则，解得x=3，即=3，可得a2=6， 则b2=a2﹣c2=2． ∴椭圆的方程为+=1； （2）由题意方程可得F1（﹣2，0），F2（2，0）， 设直线MN的方程为x=ty﹣2， 代入椭圆方程可得，（3+t2）y2﹣4ty﹣2=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣， 由，可得（x1+x2﹣4）2+（y1+y2）2=50， 又x1+x2=t（y1+y2）﹣4， 即有（﹣8）2+（）2=50， 解得t2=1，即t=±1， 则直线m的方程为x=±y﹣2； （3）， 可得||||sin∠MON=λ， 即有λ=S△MON=|OF1||y1﹣y2| =|y1﹣y2|== ==≤=， 当且仅当=，即t=±1时，S取得最大值． 则有λ的取值范围是（0，]． 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、点在椭圆上转化为点的坐标适合题意的方程、向量的运算与基本不等式是解题的关键． 19.已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是（φ为参数），点P(2,2).（Ⅰ）将曲线C的方程化为普通方程，并指出曲线C是哪一种曲线；（Ⅱ）直线l与曲线C交于点A，B，当时，求直线l的斜率..参考答案：（Ⅰ）曲线的普通方程是，曲线是圆.

……5分（Ⅱ）点满足：所以，即.因为，所以.从而.所以.故直线的斜率为.

……10分20.网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格：网店名称ABCDx3467y11122017由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系（1）求y与x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；R2═1﹣参考数据：xiyi=320；x2=110．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（2）相关指数R2的计算公式，求得R2的值，即可求得销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的．【解答】解：（1）由==5，==15，xiyi=320，=110，===2，∴=15﹣2×5=5，∴线性回归方程为=2x+5；（2）（yi﹣）2=54，（yi﹣）2=14，R2═1﹣=1﹣=0.74，说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法求线性回归方程的系数及相关指数的计算，考查样本中心点的求法，属于基础题．21.已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，，，，O为CD的中点.（1）求证：AO∥平面BCE；（2）求直线BD与平面BCE所成角的正弦值.参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）取中点，连接，，根据平行关系得到四边形为平行四边形，进而得到线面平行；（2）结合第一问得到的平行关系可得到平面，再由垂直关系证明平面，得到就是直线与平面所成角，从而得到结果.【详解】（1）取中点，连接，，∵为的中点，∴，且，∵，，，∴，，则四边形为平行四边形，∴，平面，平面，∴平面；（2）由题意可得，∵平面，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面；∴就是直线与平面所成角.在中，，，∴.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，直线和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的