2023年山东省莱芜市中考数学试卷及解析

2023年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分〕1．〔3分〕如图，在数轴上点A表示的数可能是〔〕A．1.5B．﹣1.5C．﹣2.4D．2.4考点：数轴．1429852分析：根据数轴上的点表示数的方法得到点A表示的数大于﹣3且小于﹣2，然后分别进行判断即可．解答：解：∵点A表示的数大于﹣3且小于﹣2，∴A、B、D三选项错误，C选项正确．应选C．点评：此题考查了数轴：数轴有三要素〔正方向、原点、单位长度〕，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．2．〔3分〕〔2023•莱芜〕四名运发动参加了射击预选赛，他们的成绩的平均环数及方差S2如下表所示：甲乙丙丁8.39.29.28.5S2111.11.7如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁考点：统计量的选择．1429852分析：先比拟平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比拟方差即可解答．解答：解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，由于S2乙＜S2丙，故丙的方差大，波动大．应选B．点评：此题考查方差的定义与意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．〔3分〕〔2023•莱芜〕大量事实证明，环境污染治理刻不容缓．据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污水排入江河湖海．把14.2万用科学记数法表示为〔〕A．1.42×105B．1.42×104C．142×103D．0.142×106考点：科学记数法—表示较大的数．1429852分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：14.2万=142000=1.42×105．应选：A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．〔3分〕〔2023•莱芜〕如下图是由假设干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，那么小立方体的个数不可能是〔〕A．6个B．7个C．8个D．9个考点：由三视图判断几何体．1429852分析：易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．解答：解：由俯视图易得最底层有5个立方体，由左视图易得第二层最多有3个立方体和最少有1个立方体，那么小立方体的个数可能是6个或7个或8个．故小立方体的个数不可能是9．应选D．点评：查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也表达了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章〞就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个立方体．5．〔3分〕〔2023•莱芜〕以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：中心对称图形；轴对称图形．1429852分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：各图形中：〔1〕不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；〔2〕是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；〔3〕既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；〔4〕既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故既是轴对称图形又是中心对称图形的共有2个．应选B．点评：考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．如果一个图形沿着一条直线对折后两局部完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．6．〔3分〕〔2023•莱芜〕对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．假设2⊕〔2x﹣1〕=1，那么x=〔〕A．B．C．D．﹣考点：解分式方程．1429852专题：新定义．分析：根据新定义得到﹣=1，然后把方程两边都乘以2〔2x﹣1〕得到2﹣〔2x﹣1〕=2〔2x﹣1〕，解得x=，然后进行检验即可．解答：解：∵2⊕〔2x﹣1〕=1，∴﹣=1，去分母得2﹣〔2x﹣1〕=2〔2x﹣1〕，解得x=，检验：当x=时，2〔2x﹣1〕≠0，故分式方程的解为x=．应选A．点评：此题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了阅读理解能力．7．〔3分〕〔2023•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．1429852专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．8．〔3分〕〔2023•莱芜〕从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是〔〕A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．1429852分析：列举出所有情况，看所组成的数是3的倍数的情况占总情况的多少即可．解答：解：列表得：∴一共有12种情况，所组成的数是3的倍数的有4种情况，∴所组成的数是3的倍数的概率是=．应选B点评：此题考查了列表法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，关键是找出所组成的数是3的倍数的情况数．9．〔3分〕〔2023•莱芜〕以下四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序〔〕①一辆汽车在公路上匀速行驶〔汽车行驶的路程与时间的关系〕②向锥形瓶中匀速注水〔水面的高度与注水时间的关系〕③将常温下的温度计插入一杯热水中〔温度计的读数与时间的关系〕④一杯越来越凉的水〔水温与时间的关系〕A．①②③④B．③④②①C．①④②③D．③②④①考点：函数的图象．1429852专题：图表型．分析：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．解答：解：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．故顺序为③②④①．应选D．点评：此题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．10．〔3分〕〔2023•莱芜〕假设一个圆锥的底面积为4πcm2，高为4cm，那么该圆锥的侧面展开图中圆心角为〔〕A．40°B．80°C．120°D．150°考点：圆锥的计算．1429852分析：根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．解答：解：∵圆锥的底面积为4πcm2，∴圆锥的底面半径为2cm，∴底面周长为4π，∵高为4cm，∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm，设侧面展开图的圆心角是n°，根据题意得：=4π，解得：n=120．应选C．点评：此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决此题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11．〔3分〕〔2023•莱芜〕以下说法正确的有〔〕①正八边形的每个内角都是135°②与是同类二次根式③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数y=﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：圆周角定理；同类二次根式；反比例函数的性质；含30度角的直角三角形；多边形内角与外角．1429852分析：①由正多边形的性质，即可求得正八边形的每个内角的度数；②首先化简，那么可求得与是同类二次根式；③可求得长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°；④由反比例函数的性质，可得反比例函数y=﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大．解答：解：①正八边形的每个内角都是：=135°，故①正确；②∵=3，=，∴与是同类二次根式；故②正确；③如图：∵OA=OB=AB，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°，∴∠D=180°﹣∠C=150°，∴长度等于半径的弦所对的圆周角为：30°或150°；故③错误；④反比例函数y=﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大．故④正确．故正确的有①②④，共3个．应选C．点评：此题考查了圆周角定理、正多边形的性质、同类二次根式以及反比例函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．〔3分〕〔2023•莱芜〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分别是BA、BC的中点，那么以下结论不正确的是〔〕A．△ABC是等腰三角形B．四边形EFAM是菱形C．S△BEF=S△ACDD．DE平分∠CDF考点：直角梯形；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．1429852分析：连接AE，由E为BC的中点，得到BE=CE，再由BC=2AD，可得出AD=BE=CE，再由AD与BC平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出四边形ABED与四边形AECD都为平行四边形，再由∠BCD=90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形得出四边形AECD为矩形，利用矩形的四个角为直角可得出AE垂直于BC，得到AE垂直平分BC，利用线段垂直平分线定理得到AB=AC，即△ABC为等腰三角形，应选项A正确，不合题意；由EF为△ABC的中位线，利用中位线定理得到EF平行于AC，且等于AC的一半，进而得到四边形AFEM为平行四边形，再由AF等于AB的一半，即为AC的一半，得到邻边AF=EF，可得出四边形AFEM为菱形，选项B正确，不合题意；过F作FN垂直于BC，可得出FN与AE平行，由F为AB的中点，得到N为BE的中点，即FN为△ABE的中位线，得到FN等于AE的一半，即为DC的一半，再由BE=AD，可得出△BEF与△ADC底相等，高FN为CD的一半，可得出△BEF的面积为△ADC面积的一半，选项C正确，不合题意；而DE不一定为角平分线，选项D错误，符合题意．解答：解：连接AE，如右图所示，∵E为BC的中点，∴BE=CE=BC，又BC=2AD，∴AD=BE=EC，又AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，四边形AECD为平行四边形，又∵∠DCB=90°，∴四边形AECD为矩形，∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，应选项A不合题意；∵E为BC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，又∵四边形ABED为平行四边形，∴AF∥ME，∴四边形AFEM为平行四边形，又∵AF=AB=AC=EF，∴四边形AFEM为菱形，应选项B不合题意；过F作FN⊥BC于N点，可得FN∥AE，又∵F为AB的中点，∴N为BE的中点，∴FN为△ABE的中位线，∴FN=AE，又∵AE=DC，BE=AD，∴S△BEF=S△ACD，应选项C不合题意；DE不一定平分∠CDF，应选项D符合题意．应选D．点评：此题考查了直角梯形的性质，涉及的知识有：矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解此题的关键．二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，总分值20分〕13．〔4分〕〔2023•莱芜〕计算：2﹣2﹣+6sin45°﹣=﹣．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．1429852专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和sin45°=得到原式=﹣|﹣2|+6×﹣3，然后去绝对值和进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=﹣|﹣2|+6×﹣3=﹣2+3﹣3=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．14．〔4分〕〔2023•莱芜〕假设点P〔a，2〕在一次函数y=2x+4的图象上，它关于y轴的对称点在反比例函数y=的图象上，那么反比例函数的解析式为y=．考点：待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．1429852分析：把P的坐标代入一次函数的解析式求得P的坐标，然后求得关于y轴的对称点，然后代入反比例函数的解析式即可求得反比例函数的解析式．解答：解：把P〔a，2〕代入y=2x+4得：2a+4=2，解得：a=﹣1，那么P的坐标是：〔﹣1，2〕，P关于y轴的对称点是：〔1，2〕．把〔1，2〕代入反比例函数的解析式得：=2，解得：k=2．那么反比例函数的解析式是：y=．故答案是：y=．点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．15．〔4分〕〔2023•莱芜〕在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．假设点P在边AC上移动，那么BP的最小值是4.8．考点：勾股定理；垂线段最短．1429852专题：计算题．分析：根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．解答：解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故答案为：4.8．点评：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．16．〔4分〕〔2023•莱芜〕为落实“两免一补〞政策，某市2023年投入教育经费2500万元，预计2023年要投入教育经费3600万元．2023年至2023年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，那么2023年该市要投入的教育经费为3000万元．考点：一元二次方程的应用．1429852专题：增长率问题．分析：一般用增长后的量=增长前的量×〔1+增长率〕，2023年要投入教育经费是2500〔1+x〕万元，在2023年的根底上再增长x，就是2023年的教育经费数额，即可列出方程求解．解答：解：根据题意2023年为2500〔1+x〕，2023年为2500〔1+x〕〔1+x〕．那么2500〔1+x〕〔1+x〕=3600，解得x=0.2或x=﹣2.2〔不合题意舍去〕．故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2023年该市要投入的教育经费为：2500〔1+20%〕=3000万元．故答案为：3000．点评：此题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×〔1+年平均增长率〕年数=增长后的量．17．〔4分〕〔2023•莱芜〕将正方形ABCD的各边按如下图延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2023在射线AB上．考点：规律型：点的坐标．1429852分析：把射线AB，CD，BC，DA上面的点分别列举，再找到规律，由规律即可求出点A2023所在的射线解答：解：如下图：点名称射线名称ABA1A3A10A12A17A19A26A28…CDA2A4A9A11A18A20A25A27…BCA5A7A14A16A21A23A30A32…DAA6A8A13A15A22A24A29A31…根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，因为2023=16×125+12，所以点A2023所在的射线和点A12所在的直线一样．因为点A2023所在的射线是射线AB，所以点A2023在射线AB上，故答案为：AB．点评：此题考查了点的坐标规律，是一个规律探索题，可以列出点的排列规律从中得到规律，在变化的点中找到其排列直线的不变的规律，此类问题的排列通常是具有周期性，按照周期循环，难度适中．三、解答题〔本大题共7小题，总分值64分〕18．〔6分〕〔2023•莱芜〕先化简，再求值：÷，其中a=﹣3．考点：分式的化简求值．1429852专题：计算题．分析：将原式被除式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，除式分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a=﹣3代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：原式=〔﹣〕÷=•=，∵a=﹣3，∴原式==﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．19．〔8分〕〔2023•莱芜〕某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类〞、“书画类〞、“棋牌类〞、“器乐类〞四类校本课程的人数．〔1〕确定调查方式时，甲同学说：“我到六年级〔1〕班去调查全体同学〞；乙同学说：“放学时我到校门口随机调查局部同学〞；丙同学说：“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学〞．请指出哪位同学的调查方式最合理．

类别频数〔人数〕频率武术类0.25书画类200.20棋牌类15b器乐类合计a1.00〔2〕他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制了如下图的统计表和扇形统计图．请你根据以上图表提供的信息解答以下问题：①a=100，b=0.15；②在扇形统计图中，器乐类所对应扇形的圆心角的度数是144°；③假设该校六年级有学生560人，请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程．考点：频数〔率〕分布表；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．1429852分析：〔1〕采用随机调查的方式比拟合理，随机调查的关键是调查的随机性，这样才合理；〔2〕①用喜欢书画类的频数除以喜欢书画类的频率即可求得a值，用喜欢棋牌类的人数除以总人数即可求得b值．②求得器乐类的频率乘以360°即可．③用总人数乘以喜欢武术类的频率即可求喜欢武术的总人数．解答：解：〔1〕∵调查的人数较多，范围较大，∴应当采用随机抽样调查，∵到六年级每个班随机调查一定数量的同学相比照拟全面，∴丙同学的说法最合理．〔2〕①∵喜欢书画类的有20人，频率为0.20，∴a=20÷0.20=100，b=15÷100=0.15；②∵喜欢器乐类的频率为：1﹣0.25﹣0.20﹣0.15=0.4，∴喜欢器乐类所对应的扇形的圆心角的度数为：360×0.4=144°；③喜欢武术类的人数为：560×0.25=140人．点评：此题考查的用样本估计总体和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．20．〔9分〕〔2023•莱芜〕某市规划局方案在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如下图．支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB=12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离〔结果精确到0.01m，参考数据：cos28°≈0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7〕．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．1429852分析：首先过点O作OF⊥AM，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出AO的长，进而得出OF的长，即可求出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离．解答：解：过点O作OF⊥AM于点F，交AB于点E，∵∠OAB=28°，AB=12，∴cos28°=≈0.9，解得：AO≈13.33，在Rt△AOF中，∠OAF=28°+16°=44°，故sin44°==，解得：FO≈9.33，∵⊙O的半径为1.5m，∴9.33+1.5=10.83〔米〕答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83m．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据构造出直角三角形求出AO的长是解题关键．21．〔9分〕〔2023•莱芜〕如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角〔0°＜α＜180°〕，得到△AB′C′〔如图2〕．〔1〕探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；〔2〕当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．1429852专题：几何综合题．分析：〔1〕由于AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，那么AD=AE=AB，再根据旋转的性质得到∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，那么AB′=AC′，根据三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE〔SAS〕，那么有DB′=EC′；〔2〕由于DB′∥AE，根据平行线的性质得到∠B′DA=∠DAE=90°，又因为AD=AB=AB′，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AB′D=30°，利用互余即可得到旋转角∠B′AD的度数．解答：解：〔1〕DB′=EC′．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD=AE=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转α角〔0°＜α＜180°〕，得到△AB′C′，∴∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，∴AB′=AC′，在△B′AD和△C′AE中，∵，∴△B′AD≌△C′AE〔SAS〕，∴DB′=EC′；〔2〕∵DB′∥AE，∴∠B′DA=∠DAE=90°，在Rt△B′DA中，∵AD=AB=AB′，∴∠AB′D=30°，∴∠B′AD=90°﹣30°=60°，即旋转角α的度数为60°．点评：此题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角都等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°的直角三角形三边的关系．22．〔10分〕〔2023•莱芜〕为表彰在“缔造完美教室〞活动中表现积极的同学，老师决定购置文具盒与钢笔作为奖品．5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．〔1〕每个文具盒、每支钢笔各多少元？〔2〕时逢“五一〞，商店举行优惠促销活动，具体方法如下：文具盒九折，钢笔10支以上超出局部八折．设买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元，求y1、y2关于x的函数关系式；〔3〕假设购置同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请分析买哪种奖品省钱．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．1429852专题：优选方案问题．分析：〔1〕设每个文具盒x元、每支钢笔y元，然后根据花费100元与161元分别列出方程组成方程组，解二元一次方程组即可；〔2〕根据促销方法对文具盒列出函数关系式，对钢笔分x≤10与x＞10两种情况列出函数关系式；〔3〕求出买两种奖品花钱相同时的件数，然后根据一次函数的性质讨论求解．解答：解：〔1〕设每个文具盒x元、每支钢笔y元，根据题意得，，解得，故，每个文具盒、每支钢笔各14元，15元；〔2〕根据题意，y1=0.9×14x=12.6x，当x≤10时，y2=15x，当x＞10时，y2=15×10+〔x﹣10〕×15×0.8=150+12x﹣120=12x+30；〔3〕当买两种奖品花钱相同时，12.6x=12x+30，解得x=50，所以，①当所买奖品小于50件时，买文具盒更节省，②当所买奖品等于50件时，买文具盒与钢笔都一样，③当所买奖品大于50件时，买钢笔更节省．点评：此题考查的是用一次函数解决实际问题，二元一次方程组的应用，此题根据题意列出二元一次方程组求出文具盒与钢笔的单价是解题的关键．23．〔10分〕〔2023•莱芜〕如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．〔1〕求证：⊙D与边BC也相切；〔2〕设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影局部的面积〔结果保存π〕；〔3〕⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF=S△MDF时，求动点M经过的弧长〔结果保存π〕．考点：圆的综合题．1429852分析：〔1〕过D作DQ⊥BC于Q，连接DE，根据切线性质得出DE⊥AB，根据菱形性质求出BD平分∠ABC，根据角平分线性质得出DE=DQ，根据切线判定推出即可；〔2〕根据菱形性质和等边三角形判定得出等边三角形ADB，求出DE值，即可得出圆的半径长，得出等边三角形DCB和等边三角形DHF，求出△DFH的高FN，求出△DFH的面积和扇形FDH的面积，相减即可得出答案；〔3〕根据△FDH的面积和求出△MDF边DF上的高MZ，求出∠MDF，同理得出另一点M′也符合，且圆心角是150°，根据弧长公式求出即可．解答：〔1〕证明：过D作DQ⊥BC于Q，连接DE，∵⊙D切AB于E，∴DE⊥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴DE=DQ〔角平分线性质〕，∵DQ⊥BC，∴⊙D与边BC也相切；〔2〕解：过F作FN⊥DH于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠DBA=60°，DC∥AB，AD=BD=AB=2∵DE⊥AB，∴AE=BE=，由勾股定理得：DE=3=DH=DF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°，DC=BC，∴△DCB是等边三角形，∴∠CDB=60°，∵DF=DH，∴△DFH是等边三角形，∵FN⊥DH，∴DN=NH=，由勾股定理得：FN=，∴S阴影=S扇形FDH﹣S△FDH=﹣×3×=π﹣；〔3〕解：过M作MZ⊥DF于Z，∵由〔2〕知：S△HDF=×3×=，DF=3，又∵S△HDF=S△DFM，∴=××3×MZ，∴MZ=，在Rt△DMZ中，sin∠MDZ==，∴∠MDZ=30°，同理还有另一点M′也符合，此时MM′∥CD，∠M′DC=180°﹣30°=150°，∴弧MF的长是=π；弧FM′的长是=π；答：动点M经过的弧长是π或π．点评：此题考查的知识点是三角形的面积，等边三角形的性质和判