2017高等代数第4章课件

Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-三、正交单位向引言在平面上取一个直角坐标系Oxy，设向量,的坐标分别为(a1a2b1b2如果都是单位向量，并且互相垂直，则a2a21,ababa 1 b2b21,bab b 上述4个等式b a b 0 1 a2b a b 0 1 2 2 A

a2

则AAT=E 2Zhanglizhuo-一、正交矩阵及定义1实数域上的方阵A实数域上的方阵AA可逆，并且A-Zhanglizhuo-正交矩阵具有下10E是正交矩20若A,B都是n级正交矩阵，则AB30若A是正交矩阵，则A-1(即AT)40若A是正交矩阵，则A=1或-1【证】(AB)(AB)T=A(BBT)AT=AEAT=EA-1(A-1)T=A-1(AT)-1=(ATA)-1=E-1=E因此A=1或-1。Zhanglizhuo-例1判断矩阵是否A A cos 【解】依正

sin

sin 0,

sin

1 因此A是正交矩Zhanglizhuo-AAT=E

T 2

0 1

2 2

1T

1 T

当i 当iZhanglizhuo-TATA=E

2T 2T T

0 2 2T T 2T T T T T

i i一般的n级正交矩阵的行(列)Zhanglizhuo-定理1设实数域上n级矩阵A的行向量组为12n；列向量组为1,2,…,n，则A为正交矩阵当且仅当A

i iA为正交矩阵当且仅当A T

i iZhanglizhuo-【证】(1)A为正交1

0 AAT=E

T

001 01 n

0 T T

0

T

1

当i

n 当iZhanglizhuo-(2)A为正交1T1

0T

ATA=E

2

0T

1 nT T

T

0

n

T T T n 0T T T

1 n T

当i 当i Zhanglizhuo-

当i

当iA为正交矩阵

,1i,j A为正交矩阵T,1i,j Zhanglizhuo-二、欧几里得定义2在Rn中，任给=(a1a2an=(b1b2规(,)defab+ab+…+ab 这个二元实值函数(,)称为Rn的一个内积()=T=T【注】如果,是列向量，则(,)=T=TZhanglizhuo-Rn的标准内积具有下列基本性质：对于一切,,kR，10()=(对称性20(+)=()+(线性30(k)=k(线性40()0=O正定性)。由10,20,30可以看出，(k1+k2,)=k1(,)+k2(,(,k1+k2)=k1(,)+k2()Zhanglizhuo-在欧几里得空间Rn中，向量的长度长度为1的向量称为单位向量Zhanglizhuo-在欧几里得空间Rn如果O

1一定是单位向把非零向量乘以1/，称为把单位化Zhanglizhuo-三、正交单位向Zhanglizhuo-命题2欧氏空间Rn中，正交向 上式两端的向量都与i(k11+k22+…+kss,i)=(O,i)，由于(i,j)=0，当ij时，因此ki(i由于iO，(ii)>0，于是ki=0，其中i=1,2s，于是12…,s线性无关。Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-【证】设A的行向量组为12n，则由定理1，矩阵A为正交矩阵ijT=ij,1i,jn(i,j)=ij,1i,1n是Rn的一个标准正交基。【注】构造正交矩阵需求RnZhanglizhuo-平面上两个不共线的向量1,2，容易找到一个

=，=+k

k11=1为求k，在上式两端用1(2,1)=(2+k1,1)=(2,1)+k(1,从 0=(2,1)+k(1,解之得k(2,1) 于(1,β

(α2,β1) 1(1,1 1Zhanglizhuo-1容易找到一个正交向量组1,2,3,1=， α

设

=+k

+k

(1,1

(3,1)=(3+k11+k22,1)=(3,1)+k1(1,从 0=(3,1)+k1(1,解之

k

同理

(32,于 (, (, β

(α3,β1)β(α3,β2)β （β,β） (β,β Zhanglizhuo-β1 1βα(α2,β1)β 1(β1,β

(α3,β1)β(α3,β2)β 3（β,β） (β,β 11 β

(αs,β1)β(αs,β2)β(s,βs-1) (β,β

(β,β

( ,

s- s- s-则1,…,s是正交向量组，且1,…,s与1,…,s等价Zhanglizhuo-s=11是正交向量组。显然{1}{1}当s=2时，向量组为1,2线性无关(,)((2,

,)(,)

(,

(2,1)(2,1) 即1,2是正交{1,2}{1,2}Zhanglizhuo-假设s=m-1时结论成立，即1,…,m-1是正交向量组 {1,2,…,m-1}{1,2,…,m-1}。 12 (αm,β1)β(αm,β2)β (αm, 12(

,

(β2,β2

(

,βm1

因此1jm-1(β,β)

(αm,β1)β(αm,β2)β (αm,βm-1) ,β

(β,β

(β,β

( ,

m- j

m- (α,β)(αm,βj)(β,β)(α,β)(α,β) (βj,βj

则1,…,m是正交向量组,且1,…,m与1,…,m等价Zhanglizhuo-据数学归纳法原理，命题为真 组12…,s出发，构造出与它等价的一个正交向量只要再将1,2,…,s中每个向 1, 1,2,…,s是与1,2,…,s等价的正交单位向量Zhanglizhuo-欧几里得空间Rn中，如果给定一个基1,2,…,n，则向量组12…n就是Rn的一个标准正交基。Zhanglizhuo-施密特正交化过程的几何解释 设1,2,3为R3的一个基 令c2为2在1上的投影向 2

T 1T

1T T111T T111

1) 这样得到的2与1正交(垂直)Zhanglizhuo- 1c3为3在1,2所在的平面上,

T T

c3c31 11 2

的投

向Zhanglizhuo- 令3=3-

T

T

例2设10，21，31为欧几里得空间R3 一个基，将其化为R3【解】(1)利用施密1 1

1

T

1 0

2 T

2

11

1

2 2 Zhanglizhuo-1

2 1 1

3

3

32

2 T

T

2

3 1

3 2 2 2 2则1,2,3是正交向(2)施以单位

23 3 1

1263 263

1 2 1 1 0, , 632 632

111

2 12

63 63 Zhanglizhuo-则1,2,3为R3Zhanglizhuo-例3已知1=(111)TR3，求一组非零向量23，123两两正交1 0 11

0,1

1，把基础解系1 1

1 2取0 , ,

1

1 则123两两正交

2Zhanglizhuo-【证】由题设，V={|(,)=0,Rn}，OV，所以V非空若V，()=0，()=0，(+)=()+()=0，所以若kR，V，(,)=0，(k)=k()=0，所以V对加法、数量乘法封闭，所以V为RnZhanglizhuo-a1a

k1k设 2，向量 2a a n

k knV(,Zhanglizhuo-例5设12n-1是向量空间Rn中线性无关向量组，又知列向量1,2与1,2,…,n-1的每个向量都正交，证明向量组1,2