S章 虚拟变量模型

本章将主要介绍经典单方程计量经济学模型中引入虚拟变量的问题。第八章虚拟变量模型在前面几章中，主要介绍了经典线性回归模型及其在若干基本假定下的估计问题，并分析了一个或多个假定不满足时所产生的后果及其可能的改进措施。然而上述方法还不能解决经济生活中遇到的全部问题。如何考察某一突发事件、性别、季节、受教育程度等对经济行为带来的影响？？例如：第八章虚拟变量模型◆学习目的了解虚拟变量、虚拟变量模型的概念，掌握虚拟变量设置的原则和引入模型的方法。◆基本要求1)认识到虚拟变量是建立计量经济学模型经常会遇到的问题；2)了解虚拟变量、虚拟变量模型的概念；3)掌握虚拟变量设置的原则、虚拟变量模型的建模方法及应用。◆虚拟变量◆虚拟变量模型第八章虚拟变量模型第一节虚拟变量◆虚拟变量的引入◆虚拟变量的设置原则一、虚拟变量为什么要引入“虚拟变量”？？如商品需求量、价格、收入、产量等许多经济变量是可以定量度量的或者说是可以直接观测的但是也有一些影响经济变量的因素无法定量度量或者说无法直接观测如职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害对GDP的影响，季节对某些产品(如冷饮)销售的影响等。

为了能够在模型中反映这些因素的影响，并提高模型的精度，需要将它们人为地“量化”，这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完成的。这种用两个相异数字来表示对被解释变量有重要影响而自身又没有观测数值的一类变量，称为虚拟变量(dummyvariables)。虚拟变量也称为哑变量或定性变量。虚拟变量的特点是：1．虚拟变量是对经济变化有重要影响的不可测变量。2．虚拟变量是赋值变量，一般根据这些因素的属性类型，构造只取“0”或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量，记为D。这是为了便于计算而把定性因素这样数量化的，所以虚拟变量的数值只表示变量的性质而不表示变量的数值。基础类型和肯定类型取值为1；一般地，在虚拟变量的设置中，比较类型和否定类型取值为0。例如：1）表示性别的虚拟变量可取为D1=1男性0女性2）表示文化程度的虚拟变量可取为D2=1本科及以上学历0本科以下学历3）表示地区的虚拟变量可取为D3=1城市0农村4）表示消费心理的虚拟变量可取为D4=1喜欢某种商品0不喜欢某种商品5）表示天气变化的虚拟变量可取为D5=0雨天1晴天二、虚拟变量模型同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟变量模型。在模型中，虚拟变量可作为解释变量，也可作为被解释变量，但主要是用作解释变量。一个以性别为虚拟变量来考察职工薪金的模型如下：（8-1）其中例如：——为职工的薪金；——为职工工龄；=1——代表男性=0——代表女性三、虚拟变量的引入虚拟变量作为解释变量引入模型有两种基本方式：加法方式和乘法方式。1.加法方式上述职工薪金模型（8-1）中性别虚拟变量的引入就采取了加法方式，女职工的平均薪金为：在该模型中，如果仍假定=0，则男职工的平均薪金为：从几何意义上看(图8-1)，图8-1男女职工平均薪金示意图假定>0，则两个函数有相同的斜率，但有不同的截距。这意味着，男女职工平均薪金对工龄的。

变化率是一样的，但两者的平均薪金水平相差可以通过传统的回归检验，对的统计显著性进行检验，以判断男女职工的平均薪金水平是否有显著差异。例如：在截面数数据基础础上，考考虑个人保健健支出对对个人收收入和教教育水平平的回归归。教育水平平考虑三三个层次次：高中中以下，，高中，，大学及及其以上上D1=1高中0其它D2=1大学及其以上0其它这时需要要引入两两个虚拟拟变量：：模型可设设定如下下：（8-2）高中以下下：E(Yi|Xi，D1i=0，D2i=0)=β0+β1Xi高中：大学及其其以上：：E(Yi|Xi，D1i=1，D2i=0)=(β0+β2)+β1XiE(Yi|Xi，D1i=0，D2i=1)=(β0+β3)+β1Xi在=0的初始假定下，容易得到高中以下、高中、大学及其以上教育水平个人平均保健支出的函数：假定，且，则其几何意义如图8-2所示。图8-2不同教育程度人员保健支出示意图还可将多个虚拟拟变量引入模型型中以考考察多种种“定性性”因素素的影响响。例如：在职工薪薪金模型型（8-1）的的例子中中，再引引入学历历的虚拟拟变量D2=1本科及以上学历0本科以下学历则职工薪薪金的回回归模型型可设计计如下：：（8-3）

Yi=β0+β1Xi+

β2Di+

β3D2i+

μi于是，不不同性别别、不同同学历职职工的平平均薪金金分别由由下面各各式给出出：女职工本本科以下下学历的的平均薪薪金：男职工本本科以下下学历的的平均薪薪金：女职工本本科以上上学历的的平均薪薪金：男职工本本科以上上学历的的平均薪薪金：E(Yi|Xi，D1i=0，D2i=0)=β0+β1XiE(Yi|Xi，D1i=1，D2i=0)=(β0+β2)+β1XiE(Yi|Xi，D1i=0，D2i=1)=(β0+β3)+β1XiE(Yi|Xi，D1i=1，D2i=1)=(β0+β2+β3)+β1Xi2.乘乘法方式式——斜率率的变化化例如：根据消费费理论，，消费水水平C主主要取决决于收入入水平X。但在在一个较较长的时时期，人人们的消消费倾向向会发生生变化，，尤其是是在自然然灾害、、战争等等反常年年份，消消费倾向向往往出出现变化化。这种种消费倾倾向的变变化可通通过在收收入的系系数中引引入虚拟拟变量来来考察。。设Dt=1正常年份0反常年份则消费模模型可建建立如下下：（8-4）这里，虚虚拟变量量Dt以与Xt相乘的方方式引入入了模型型中，从从而可用用来考察消费费倾向的的变化。。在E(μμt)=0的的假定下下，上述述模型所所表示的的函数可可化为:正常年份份：反常年份份：图8-3不同年份消费倾向示意图假定0，则其几何图形如图8-3所示。如果在模模型中同时使用用加法和和乘法两两种方式式引入虚虚拟变量量，则回归线线的截距距和斜率率都会改改变。例如：对于改革开放前后储蓄-收入模型，可设定为（8-5）其中，Y为储蓄，X为收入，Dt为虚拟变量Dt=1改革开放以后0改革开放以前显然在式式（8-5）中中，同时时使用加加法和乘乘法两种种方式引引入了虚虚拟变量量。在E(μμt)=0的的假定下下，上述述模型所所表示的的函数可可化为:改革开放放以前：：E(Yt|Xt，Dt=0)=α0+β1Xt改革开放放以后：：则其几何何图形如如图8-4所示示。E(Yt|Xt，Dt=1)=(α0+α1)+(β1–β2)Xt假定0且0，改革开放以前改革开放以后XY

图8-4改革开放前后储蓄函数示意图3．临界指标标的虚拟变量量的引入在经济发生转转折时，可通通过建立临界界指标的虚拟拟变量模型来来反映。例如：进口消费品数数量Y主要取决于国国民收入X的多少，中国国在改革开放放前后，Y对X的回归关系明明显不同。这时，可以t*=1979为转折期，以1979年的国民收入Xt*为临界值，设如下虚拟变量：10Dt=t≥t*

t＜t*则进口消费品品的回归模型型可建立如下下：（8-6）如果用OLS法得到该模模型的回归方方程为（8-7）则两个时期进进口消费品函函数分别为当t＜t*=1979时当t≥t*=1979时几何图形如图图8-5所示示图8-5转折期回归示意图4．数值变量量作为虚拟变变量引入有些变量虽然然是数量变量量，即可以获获得实际观测测值，但在某某些特定情况下把它选取取为虚拟变量量则是方便的的，以虚变量量引入计量经经济学模型更更加合理。譬如年龄因素素虽然可以用用数字计量，，但如果将年年龄作为资料料分组的特征，则可将年年龄选作虚拟拟变量。例如：家庭教育经费费支出不仅取取决于其收入入，而且与年年龄因素有关关。按年龄划分为为三个年龄组组：6—18岁年龄组（（中小学教育育）；19——22岁年龄组（大学学教育）；其其它年龄组。。于是设定虚虚拟变量D1=16-18岁年龄组0其它D2=119-22年龄组0其它则家庭教育经经费支出模型型可设定为（8-8）其中，Yi是第i个家庭的教育育经费支出；；Xi是第i个家庭的收人人；虚拟变量D1i、D2i分别表示第i家庭中是否有有6—18岁岁和19—22岁的成员员。5.虚拟变变量交互效应应分析当分析解释变变量对变量的的影响时，大大多数情形只只是分析了解解释变量自身变动对被被解释变量的的影响作用，，而没有深入入分析解释变变量间的相互互作用对被解释释变量影响。。前面讨论的分分析两个定性性变量对被解解释变量影响响的虚拟变量量模型中，暗含着一个假假定：两个定性变量量是分别独立立地影响被解解释变量的但是在实际经经济活动中，，两个定性变变量对被解释释变量的影响响可能存在一定的交互作作用，即一个个解释变量的的边际效应有有时可能要依依赖于另一个个解释变量。为描述这种交交互作用，可可以把两个虚虚拟变量的乘乘积以加法形形式引入模型型。考虑下列模型型Yi=α0+α1D1i+α2D2i+βXi+μi

(8-9)其中，Yi为农副产品生生产总收益，，Xi为农副产品生生产投入，D1i为油菜籽生产虚拟变量，，D2i为养蜂生产虚虚拟变量。这这里D1i=1发展油菜籽生产

0其它D2i=1发展养蜂生产0其它例如：显然，(8-9)式描述述了是否发展展油菜籽生产产与是否发展展养蜂生产的的差异对农副产品总收益益的影响。虚拟解释变量量D1i和D2i是以加法形式式引入的，那那么暗含着假定：油菜籽生产和和养蜂生产是是分别独立地地影响农副产产品生产总收收益。但是，在发展展油菜籽生产产时，同时也也发展养蜂生生产，所取得得的农副产品生产总收收益可能会高高于不发展养养蜂生产的情情况。即在是是否发展油菜菜籽生产与养蜂蜂生产的虚拟拟变量D1i和D2i之间，很可能能存在着一定定的交互作用，且这种种交互影响对对被解释变量量—农副产品品生产总收益益会有影响。。为描述虚拟变变量交互作用用对被解释变变量的效应，，在(8-9)式中以加法形式引入两个虚拟解释释变量的乘积积，即Yi=α0+α1D1i+α2D2i+α3（D1iD2i）+βXi

+μi

(8-10)（1）基础类类型：不发展展油菜籽生产产，也不发展展养蜂生产时时农副产品生生产平均总收收益E(Yi|Xi,D1=0,D2=0)=α0+βXi

(8-11)

（2）比较类类型：同时发发展油菜籽生生产和养蜂生生产时，农副副产品生产平平均总收益E(Yi|Xi,D1=1,D2=1)=α0+α1+α2+α3+βXi

(8-12)α1为是否发展油油菜籽生产对对农副产品生生产总收益的的截距差异系系数；α2为是否发展养养蜂生产对农农副产品生产产总收益的截截距差异系数数；α3为同时发展油油菜籽生产和和养蜂生产时时对农副产品品生产总收益益的交互效应应系数。α0~α3组成截距水平平。其中关于交互效应应是否存在，，可借助于交交互效应虚拟拟解释变量系系数的显著性性检验来加以以判断。如果t检验表明交互互效应D1iD2i在统计意义上上显著时，说说明交互效应应对Yi存在显著影响响。四、虚拟变量量的设置原则则每一定性变量量所需的虚拟拟变量个数要要比该定性变变量的类别数数少1，即如果定性变变量有m个类别，则只只在模型中引引入m-1个虚拟变变量。例如：已知冷饮的销销售量Y除受k个定量变量Xi的影响外，还还受一个定性性变量季节即春、夏、、秋、冬四季季变化的影响响。要考察该该四季的影响响，只需引入入三个虚拟变量即可可：D1t=1春季0其它D2t=1夏季0其它D3t=1秋季0其它则冷饮销售量量的模型为（8-13）D4t=1冬季0其它在上述模型中中，若再引入入第四个虚拟拟变量则冷饮销售模模型变量为（8-14）其矩阵形式为为（8-15）如果只取六个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则其中模型（8-14）参数无法唯一求出显然，中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而不是满秩的，——所谓的““虚拟变量陷陷阱”第二节虚拟被解释变变量当虚拟变量作作为被解释变变量时，其作作用是对某一一经济现象或活动进行““是”与“否否”的判断或或决策。研究是否购买买商品住房、、是否参加人人寿或财产保保险、是否能按期偿还贷贷款、新产品品在市场上是是否畅销、对对某一改革措措施所持的态度等等。例如：例如：假定我们要从从一个截面样样本度量汽车车所有权的决决定因素。某些人有汽车车，而其他人人没有。假定定这种所有权权函数的决定定因素是收入和职业，，则可设定模模型为：（8-16）其中，Xi表示收入，D1i=1第i个人是有车者

0第i个人是无车者

D2i=1第i个是白领职业0其它显然，这个模模型中被解释释变量是一个个虚拟变量。。特征：被研究的对象象(即被解释释变量)在受受到多种因素素影响时，其其取值只有两种状态态：“是”与“否”。。——“二元型型响应”现象象如何处理二元元型响应被解解释变量模型型的估计、推推断问题？？？一、线性概率率模型(LPM)二、Logit模型一、线性概率率模型(LPM)1．什么是线线性概率模型型假设住户是否购买商品房的决定主要依赖于其收入水平。那么考虑下列模型（8-17）其中，Xi为住户的收入入；Yi为一虚拟变量量，表示住户户购买商品住住房的情况Yi=1已购买商品住房0未购买商品住房问题题：：我们们前前面面讨讨论论的的回回归归分分析析主主要要是是研研究究E(Yi|Xi)=ββ0+ββ1Xi的问问题题，，即研研究究条条件件均均值值轨轨迹迹的的问问题题，，而而在在上上述述模模型型中中，，被被解解释释变变量量是是某某种种属属性性发生生与与否否的的状状况况，，怎怎样样把把被被解解释释变变量量某某种种属属性性发发生生与与否否的的概概率率问问题题同同条条件均均值值的的轨轨迹迹研研究究联联系系起起来来?另外外，，若若概概率率问问题题与与条条件件均均值值轨轨迹迹能能够够联联系系起起来来的的话话，，那那么么，，我我们们所讨讨论论的的线线性性回回归归分分析析会会出出现现什什么么问问题题?由于于E(μi)=0，，由由(8-17)，，E(Yi|Xi)=β0+β1

Xi

（8-18)另外外，，设设Y有下下列列分分布布：：P（Yi=1））=pi，P（Yi=0））=1-pi根据据数数学学期期望望的的定定义义

E(Yi)=0×(1-pi)+1×pi

=pi（8-19)注意意到到事事件件Y=1是是在在给给定定收收入入X的条条件件下下发发生生的的，，因因此此E(Yi)=E(Yi|Xi)，，于于是是有有E(Yi|Xi)=βi+β1Xi=pi

(8-20)表明明购购买买商商品品用用房房的的概概率率是是收收入入的的线线性性函函数数。。像(8-17)式式那那样样，，以以虚虚拟拟变变量量作作为为被被解解释释变变量量的的模模型型的的条条件件期期望望实实际际上上等等于于随机机变变量量Yi取值值为为1的的条条件件概概率率。。即当当住住户户的的收收入入水水平平为为X时，，其其购购买买商商品品住住房房的的概概率率可可表表示示成成X的线线性性函函数，，故故(8-17)式式也也被被称称为为线性性概概率率模模型型(LPM)。。显然然，，只只要要得得到到(8-17)式式中中β0和β1的估估计计量量后后，，就就可可以以估估计计出出不不同同收收入入水平平住住户户购购买买商商品品住住房房的的概概率率。。0≤E(Yi|Xi)≤1(8-21)由于E(Yi

|Xi)=β0+β1

Xi=pi∈[0，1]，故在估计(8-20)式时必须满足约束条件2．．线线性性概概率率模模型型的的估估计计从形形式式上上看看，，(8-17)式式与与普普通通的的线线性性计计量量经经济济模模型型相相似似，，是是否否能能够够运用用OLS法法直直接接对对其其进进行行估估计计呢呢？？答案案是是否否定定的的。。因为为直直接接采采用用OLS法法对对(8-17)式式那那样样的的模模型型进进行行估估计计，，将将会会遇遇到到一一些特特殊殊的的问问题题，，使使得得估估计计结结果果失失去去了了合合理理的的经经济济解解释释，，因因而而需需要要寻寻求求相应应的的处处理理方方法法。。问题题：：(1)随随机机扰扰动动项项μμi的非非正正态态性性在线线性性概概率率模模型型中中，，因因为为显然然，，关关于于μi的正正态态性性假假设设不不再再成成立立。。μi=Yi-β0-β1Xi=1-β0-β1Xi当Yi=1时-β0-β1Xi当Yi=0时直接接运运用用OLS法法对对线线性性概概率率模模型型进进行行估估计计，，对对参参数数的的估估计计不不会会产产生生太大大影影响响。。说明明：：(2)随随机机扰扰动动项项μμi的异异方方差差性性Var(μi)=E[μi-E(μi)]2=E(μi2)=(1-β0-β1Xi)2pi+(-β0-β1Xi)2(1-pi)=(1-β0-β1Xi)2(β0+β1Xi)+(-β0-β1Xi)2(1-β0-β1Xi)=(β0+β1Xi)(1-β0-β1Xi)=pi(1-pi)（（8-22））Yi=1时时，P(μi=1-β0-β1Xi)=pi；Yi=0时时，P(μi=-β0-β1Xi)=1-pi，根据方方差的的定义义得根据Yi的概率率分布布，有有：E(Yi|Xi)=βi+β1Xi=pi

这里利利用了了式（（8-20）。。Var(μi)=pi(1-pi)（（8-22））(8-22)式式表明明，当当μi满足E(μi)=0和E(μiμj)=0(i≠j)时，，μi是异方方差的的。这时利利用OLS法所所得的的LPM的的估计计量不不再具具有最最小方方差的的特性性，且且各参数估估计量量的标标准差差也不不可信信。也就是是说，，LPM参参数的的OLS法法估计计量虽虽仍为为线性性无偏偏估计计量，，但不不是最佳估估计量量。怎样消消除异异方差差性的的影响响??思考：：可利用用第六六章中中有关关修正正异方方差的的方法法，可可用加加权最最小二二乘法修修正异异方差差。提示：：根据前前面的的讨论论，已已知LPM中μi的方差差是Yi条件期期望的的函数数，故选择择权重重ωi的一种种方法法为(8-23)对(8-17)式作作变换换，有有(8-24)(8-24)式中权重ωi是未知的，随机扰动项μi/也是未知的

在实践践中为为了估估计ωi，进而而估计计LPM模模型，，可采采取以以下步步骤：：第一步，不考虑异方差，用OLS法估计原模型(8-17)式，计算作为E(Yi|Xi)=β0+β1

Xi=pi的估计值，取作为ωi的估计值。第二步，用按照(8-24)式对观察数据进行变换，再用OLS法估计变换后的模型参数，得LPM的参数，从而消除异方差。(3)不不满足足0≤≤E(Yi|Xi)≤1的约约束在线性性概率率模型型中，，E(Yi|Xi)表示示在给给定X的条件件下，，事件件Y发生的的概率率。解决这这一问问题的的二类类方法法是：：从理论上，E(Yi|Xi)的取值范围必须为0～1，然而在实证分析中，E(Yi|Xi)的估计量并不一定在0和1之间，这是用LPM的OLS法估计存在的实际问题。

当>1时，就认定=1；当<0时，就认定=0。

1）选择对数单位模型或Probit模型等能够保证满足0≤E(Yi|Xi)≤1约束的非线性模型。2）3．非非线性性概率率模型型应当指指出的的是，，虽然然我们们可以以采用用WLS解解决异异方差差性问问题、、增大大样本本容量减轻轻非正正态性性问题题，通通过约约束迫迫使所所估计计的事事件Y发生的的概率率落入入0~1，，但LPM与经经济意意义的的要求求不符符：随随着X的变化化，X对pi的“边边际效效应””保持持不变变。(如1000元)，拥有商品住房的概率恒等地增加0.1。这就是说，无论住户的收入水平为8000元，还是20000元，拥有商品住房的概率都以相同的增量增加。在线性概率模型中，不论X的变化是在什么水平上发生的，参数都不发生变化，显然这与现实经济中所发生的情况是不符的。在住户是否购买商品房的例子中，当=0.1时，表明X每变化一个1单位因此，，表现现概率率平均均变化化比较较理想想的模模型应应当具具有这这样的的特征：（1））概率率pi=P(Yi=1|Xi)随随X的变化化而变变化，，但永永远不不超出出0～～1区区间。。（2））随着着Xi→-∞∞，pi→0；；Xi→+∞∞，pi→1。。符合这这些特特征的的函数数可用用图8-6形形象地地刻画画。-∞1P+∞0图8-6非线性概率函数的图形图8-6的的模型型满足足0≤≤E(Yi|Xi)≤≤1以以及pi是Xi非线性性函数数的假假设，，呈现现出S型型的曲曲线特特征。。因此可可以设设法找找到符符合这这种S型曲曲线特特征的的函数数形式式来作作为二二元型型响应应计量经经济模模型的的设定定形式式。原则上上，任任何适适当的的、连连续的的、定定义在在实轴轴上的的概率率分布布都将将满足足上述述两个个条件件。对于连连续随随机变变量来来说，，密度度函数数的积积分代代表概概率的的大小小，也也就是是说，，连续续随机机变量量的(累积积)分分布函函数(CDF)可以以满足足上述述两个个要求求。通常选选择逻逻辑斯斯蒂和和正态态分布布的累累积分分布函函数去去设定定非线线性概概率模模型。。当选选用逻逻辑斯斯蒂分分布时时，就就生成成了Logit模型型。二、Logit模型型1．Logit模型型（对数单单位模模型））的基本本概念念当选择择用逻逻辑斯斯蒂分分布函函数(logisticdistribution)去设设定二二元型型响应应计量经经济模模型时时，有有P(Yi=1)=pi===(8-25)其中，其特征征：(1)zi→+∞∞时，，pi→1；；zi→-∞∞时，，pi→0；；zi=0时时，pi=0.5。。(2)它它有一一个拐拐点，，在拐拐点之之前，，随zi或Xi增大，，pi的增长长速度度越来来越快快；在拐点点之后后，随随zi或Xi增大，，pi的增长长速度度越来来越慢慢，逐逐渐趋趋近于于1。。考虑到到在估估计中中便利利，我我们采采用以以下变变换：：（8-26）式中，，比率率pi/(1pi)通常常称为为机会比比率，即所所研究究的事事件(或属属性)“发发生”的的概率率与““没发发生””的概概率之之比。。机会比比率的的对数数Li=ln[pi/(1pi)]称称为对数单单位，这里里的对对数单单位Li不仅是是Xi的线性性函数数，而而且也也是β的线性性函数数，所所以，，(8-26)式式也称称为Logit模型型。由于pi不仅对对Xi是非线线性关关系，，而且且对β0和β1也是非非线性性关系系，不不