一元二次方程讲义绝对经典实用

学习资料 欢迎下载一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2ax2bxc0（a0）ax2，bx，c分别叫做、b分别是二次项和一次项的系数。如：2x24x10满足一般形式ax2bxc0（a0），2x24x，1分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2.一元二次方程求根方法m直接开平方法m形如x2

m（m0）的方程都可以用开平方的方法写成x

，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。配方法通过配方将原方程转化为(xn)2

m（m0）的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。公式法求根公式：方程ax2

bxc0（a0）的求根公式步骤：

b b24acx （b24ac0）2aax

bxc0（a0），确定、bc。计算式子b2

4ac的值。当b2

4ac0时，把ab和b2

4ac的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。因式分解法方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义

b(x

b24ac运用配方法解一元二次方程过程中得到

2a 4a2 b24ac0学习资料 欢迎下载平方得：

xbb2b24ac4a2也就是说，一元二次方程ax2bxc0(a0)只有当系数a、b、c满足条件b24ac0时才有实数根．这里b24ac叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由b24ac确定．设一元二次方程为ax2bxc0(a0)，其根的判别式为：b24ac则0方程ax2bxc0(a0)x

x1,2

bb b24acb②0方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根1 20方程ax2bxc0(a0)没有实数根．

2a．b24ac若abb24ac若为完全平方式，同时b说明：

是2a的整数倍，则方程的根为整数根．000．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式b24ac判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根．当b24ac0时，方程有两个相等的实数根（重根，不能说方程只有一个根．①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理xx

b xxc1如果ax2bxc0(a0)的两根是x1

，x2，则1 2

a，12

a（隐含的条件：0）1特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1

，

x2pxq0的两个根，则xx1 2

p xx，1 2，

q．7、韦达定理的逆定理x

为根的一元二次方程（二次项系数为1）x2(x

x)xx

0．1 2 1 2 12学习资料 欢迎下载bxx

c，xx，11x11

x2满足1 2

a，1

ax

x2必定是

ax2

bxc0(a0)的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在b24ac0的条件下，我们有如下结论：c b ba0 a≥0 a0⑴当 时方程的两根必一正一负若 则此方程的正根不小于负根的绝对值若 ，则此方程的正根小于负根的绝对值．c b b0 0 0⑵当a 时，方程的两根同正或同负．若a ，则此方程的两根均为正根；若a ，则此方程的两根均为负根．更 一 般 的 结 论 是 ：xxax2bxc0(a0)的两根（x

，且m为实数，当0时，一般地：1 2 1 2①(x①1②(x

m)(x2m)(x

m)0x1m)0且(x

m x，2，m)(x

mm)0x

m，xm1 2 1 2 1 2③(xm)(xm0且(xm(xm0xmxm1 2 1 2 1 2特殊地：当m0时，上述就转化为ax2bxc0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a

b，则必有一根ab

b（ab为有理数）．b⑵若ac0，则方程ax2bxc0(a0)必有实数根．⑶若ac0，方程ax2bxc0(a0)不一定有实数根．⑷若abc0，则ax2bxc0(a0)x1．⑸若abc0，则ax2bxc0(a0)必有一根x1．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；元二次方程的两根，以便利用韦达定理；置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程ax2bxc0(a0)的实根情况，可以用判别式b24ac来判别，但是对于一题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax2bxc0(a0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴b24ac为完全平方数；学习资料 欢迎下载b24acb24ac

2ak或b

2ak，其中k为整数．b2b24ac另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)11、一元二次方程的应用求代数式的值；步骤：去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程。解一元二次方程。检验列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答板块一板块一一元二次方程的定义●夯实基础例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1）2y

y72（2）2

12x2x0（3）(x5)(x0（4）(5y1)(2yy25（5）(m2

1)x2

nmx0（x是未知数）例2 已知关于x的方程(a2)x2axx21是一元二次方程，求a的取值范围．学习资料 欢迎下载例3 若一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，则m的值．●能力提升例4 关于x的方程k2x2(2k1)x1是什么方程？它的各项系数分别是什么？5已知方程2xaxbx240x的一元二次方程，求a、b的值．例例6若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任何实数培优训练例7 m为何值时，关于x的方程(m 2)(m3)x4m是一元二次方程．例8已知方程2xabxabab0是关于x的一元二次方程，求a、b的值．例9关于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为解：∵该方程为一元二次方程，，解 得 当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以m=3．学习资料 欢迎下载例例10（2000•兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）A．m≠-1B．m≠2C．m≠-1或m≠2D．m≠-1m≠2●课后练习1、m为何值时，关于x的方程(m 2)(m3)x4m是一元二次方程．2x的方程(a2)x2axx21是一元二次方程，求a的取值范围．3、已知关于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程，求a的取值范围．4、若x2ab3xab10是关于x的一元二次方程，求a、b的值．5、若一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，则m的值 板块二板块二一元二次方程的解与解法●夯实基础例例（2012鄂尔多斯）若a是方程2-x-3=0的一个解，则6-3a的值为（）A．3 B．-3 C．9 D．-9解 ： 若 a 是 方 程 2x-x-3=0 的 一 个 根2a-a-3=0变 形 得 ， 2-a=3故6-3a=33=．故选．2（2011•哈尔滨）x=2xx2-mx+8=0m的值是（），，学习资料 欢迎下载AA．6B．5C．2D．-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，解得m=6．故选A例3用直接开平方法解下列方程（1）3x290 （2）(x2)

30 （3）2(3x

18(4)

2(3x5

8 (5)x26x9(52x)2 (6) 3(x例4先配方，再开平方解下列方程（1）x2

4x40 （2）2y2y10 （3）2x2

37x1 (4) x2 x 0 (5)3y212 3y (6) x22x501 6 3例5用公式法解下列方程27（1）x227

20 （2）2x12x2

(x

3x学习资料 欢迎下载(4)(x5)(x7)1

(5)x(6x1)4x32(2x1)2

(6)x2x10例6用因式分解法解下列方程（1）2x

3x30 （2）2x

45x4500 （3）t22 2t20(4)(2 3)x22( 31)x60． (5)x23a24ax2a1 (6)9(x2)216(x0例例7（2011乌鲁木齐）关于x的一元二次方（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值（ A）A．-1 B．0 C．1 D．-11例8关于x（a-）a-1=0的一个根是，则a值为（C）A．1 B．0 C．-1 D．±1例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0（a≠c）有相同的根α，则α= 学习资料 欢迎下载例10已知a、β是方程x2-2x-4=0的两个实数则a3+8β+6的值（D ）A．-1 B．2 C．22 D．30+2mx-1=0例11关于x的一元二次方（m-2）xm^-2 的根是 +2mx-1=012mx23m22)x6m0学习资料 欢迎下载13解方程mx23m22)x6m0●培优训练例14（新思维）阅读下面的例题：解方程：x2|x|20.（）当x0时，原方程化为x2x20，x1

2,x2

1（不合题意，舍去，（2）x0x2x20．x1

1,（不合题意，舍去，x2

2．∴原方程的根是x1

2,x2

2请参照x2x330，则方程的根．例15解方程：x22x24016（新思维）x、xx2x40的两个实数根，求代数式x35x

210的值．1 2 1 2学习资料 欢迎下载例17（新思维）先请阅读材料： 2 2 2为解方程

x21 5x2140，我们可以将x21视为一个整体，然后设x 1y，则x2

y2，y25y40y515

1，y2

4．2y1x211x2

；当y4时，x214，得x ；x1

，x 222

，x232

，x ．25425在解方程的过程中，我们将x21用yy请你根据以上的阅读，解下列方程：（1）x4x260；（2）(12

x(12

x10．18xx2kx20x13的解相同．x1k的值；x2kx20的另一个解．19（新思维）x、y是实数，且mx

4xy6y

4x4ym的最小值．学习资料 欢迎下载x2yz6例新思维已知yz为实数且满足xy2x3则x2y2z2的最小值．课后练习一、填空：一元二次方程的一般形式。3x2

6的一般形式是 ，a= ，b= ，c= 。关于x的方程(m1)x22mx30是一元二次方程，则m的取值范围。关于x的方程(m2

4)x2

(m2)xm0是一元二次方程时的取值范围是二、下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2+3x=0二、下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2+3x=0B．2x+y=3C1 1 1. 0 2.x24 5

0 3.x)214. x2

60 5. x2

x72 6. 3x2

24x学习资料 欢迎下载7. x22 2x2 8. x2

7049.3(2x

0 10. (x25x30x

|x|10;

(2)(x2

2x)2

(x2

2x)20;x(m1)x22m1)xm30．xa2(x2x1)a(x21)(a21)x学习资料 欢迎下载（新思维BCaACbABc且满足a4定△ABC的形状

b4

1c42

a2c2b2c2试判七、（新思维）、y为实数，求代数式5x24y28xy2x4的最小值．板块二板块二一元二次方程根的判别式●夯实基础例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。（1）8y(2y25（2）2x26x1（3）(a

x

2ax(a

4)0（x是未知数）学习资料 欢迎下载例2如果关于x的一元二次方程kx26x90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）A．k1 B．k0 C．kk0 D．k1例3已知a，b，c为正数，若二次方程ax2bxc0有两个实数根，那么方程a2x2b2xc20的根的情况是（ ）A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号的实数C．有两个不相等的负实数根 D．不一定有实数根4若关于xkx26x90有两个不相等的实数根，求k的取值范围。5求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程ax2bxc0一定有两个不等实根。6已知a、b、c是ABC的三边的长，且方程x22(bc)xab)(ca)0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．●能力提高例7关于x的方程a6x28x60有实数根，则整数a的最大值是 ．8mkx24mx3m22m4k0的根为有理数？学习资料 欢迎下载9k为何值时，方程(k1)x22k3)xk3)0有实数根．例10已知关于x的方程(m2)x22(m1)xm10在下列情况下，分别求m的非负整数值。方程只有一个实数根方程有两个相等的实数根方程有两个不相等的实数根新思维）x2

(4k2)x4k2

0有两个不相等的实数根．则k的最大整数值为 ．例12（新思维）如果一直角三角形的三边长分别为 a、b、c，∠B=90°，那么，关于x的方程a(x2)2cxb(x2)0的根的情况是（ ．A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数C．没有实数根 D．无法确定●培优训练13（新思维）xx2

(k2)x2k0k取任何实数值，方程总有实数根；ABCa=1、c的周长．学习资料 欢迎下载14（新思维）y

2和ykx(k0)x若这两个函数的图象都经过点1，求a和k的值；k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？例1（新思维）若0是一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，则判别式b24ac与平方式M(2ax0

b)2的大小关系是（．AM BM CM D．不能确定x代解 ： 把 入 方 程 a+bx+c=0 中 得 ax+bx=-c ，x代0 0 0∵ （ 2ax+b ） =4ax+4abx+b2 ，0 0 0∴ （ 2ax+b ） =4a （ ax

） +b=-4ac+=△ ，0 0 0∴M=△ ．故选B16（新思维）x的方程|x2x

a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ．A．a0 B．a4 C．2a4 D．0a4●课后练习1、一元二次方程x22x10的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根2、若关于z的一元二次方程x2.2xm0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）A．m<l B．m>-1 C．m>l D．m<-13、关于x的方程x2pxq0的两根同为负数，则（ ）A．p>0且q>0 B．p>0且q<0C．p<0且q>0 D．p<0且q<04、不解方程，判断下列各方程根的情况（1）. x210 （2）. 4x24x10 （3）. 2x27x30学习资料 欢迎下载5、k为何值时，方程(k1)x

2(k7)x2k20的两个根相等？6、kx

(2k5)xk

0有两个不相等的实根？7、已知a0bacx的方程ax2bxc0的根的情况，并给出必要的说明．m24m48xx22(m1)xm25m24m49x的方程(m2m)x22mx10有两个不相等的实数根．⑴求m的取值范围；2a21⑵若m为整数，且m3，a是上述方程的一个根，求代数式2a2 3的值．410ABCabca3bcx的方程x2mx21m0的两个实数根，求ABC2学习资料 欢迎下载x的方程xaxbxbxcxcxa0（abc均为正数）有两个相等的实数根．证明：以abc为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．12、k为何值时，方程2x

2k2

(4k1)x没有实根？板块二板块二一元二次方程的应用例例1 解方程例2 一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加15个，一共用了天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。例3 某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？学习资料 欢迎下载例4 甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天问两队单独工作各需多少天完成？例5如图，在长为10cm8cm影部分80％，求所截去小正方形的边长．6200515002007216020052007利的年增长率相同．2006?若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008?例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m学习资料 欢迎下载●能力提高例8（新思维）如图，在宽为20，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为5402，求道路的宽（2例9（新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？例10（新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（a是10米的ABxS的函数关系式；45m2的长是多少米？AB的长；如果不能，请说明理由．学习资料 欢迎下载例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？学习资料 欢迎下载●培优训练二、列方程解应用题从一块长为80cm，宽为60cm长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？7000个，三月份生产零件8470百分率是多少？板块二板块二一元二次方程根与系数的关系●夯实基础31x24xc0的一个根为23

，则方程的另一根，c= ．2x23x50

、xx2

x2 1 2 1 2学习资料 欢迎下载例3如果x、x1 2

是一元二次方程ax2bxc0a的两根，那么，x+x1 2

=-a

，xx12

=c．这amn2x2-6x+3=0的两根。填空：m+n= mn= .1

1+n的值．4（2011•厦门）已知关于x的方程x22x2n0．求n若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n例5（2011•孝感）已知关于x的方程x22（k1）xk20有两个实数根x，x ．1 2求k；（2）x1x2x1x21，k学习资料 欢迎下载例6（2011•十堰）请阅读下列材料：问题：已知方程x2x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2解：设所求方程的根为y，y=2x所以xy．2把x

代入已知方，（） 10y y 2 y y 2 化简，得y22y40故所求方程为y22y40．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式：已知方程x2x20，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求程为： 。己知关于x的一元二次方程ax2bxc0它的根分别是己知方程根的倒数．7（2011•南充）关于的一元二次方程x22xk10的实数解是x和x．1 2求k如果xx1 2

x1

＜1kk．2学习资料 欢迎下载8（2010•淄博）已知关于x的方程x22（k3）xk24k10．若这个方程有实数根，求k；1，k若以方程x22（k3）xk24k10ymx的图象上，求满足条件的m的最小值．●能力提升例1已知：关于x的一元二次方程k2（2－3)x+－3=0有两个不相等实数根k<．k的式子表示方程的两实数根；b设方程的两实数根分别是x（其中x x若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y=1 2 1 2 x1 的图像都经过点xkx1 例2（昌平）已知：关于x的一元二次方程kx22x2k0．若原方程有实数根，求k的取值范围；设原方程的两个实数根分别为xx．1 2①当kxx1 2

均为整数；y②利用图象，估算关于k的方程xx1 2

k10的解． 4321-4-3-2-1-2-3-4

1234K学习资料 欢迎下载例3（顺义）已知：关于x的一元二次方程x2(2m1)xm2m20．求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；若方程的两个实数根x

x

1m2，求m的值．1 2 1 2

m1例4海淀09一模:关于x的一元一次方程k=+2①的根为正实数，二次函数=a2bkc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.k的值；(kc)2b2ab求代数式 的值；akc:xax2-bx+c=0.5xx22axb20a0,b0.方程有实数根a，b之间的大小关系；（2）

，且2xx31 23

2，求a，b的值；解：(1)xx22axb20∴Δ=(2a)2

4b

,有a22（a+（a-）0.∵a0,b0,∴a+b＞0,a-b≥0.∴ab 2分3（2）∵a∶b=2∶ ，3∴设a2k,b .学习资料 欢迎下载xx24kx3k20得xk.xk,x1 2

时，由2xx1 2

2k2.当x3k,x1 2

=-k时，由2xx1 2

2得k2（不合题意，舍去）.53∴a4,b3

.…………5分●培优训练1设关于x的二次方程(k26k8)x22k26k4)xk2

4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。例2xa2x2(3a28a)x＋2a213a＋15=0(其中aa例3mxmx2(m1)x＋1＝0m例4xa2+2(a3)x+(a2)=0aa学习资料 欢迎下载例5xx＋(a6)x＋a=0a例6rx+(r+1)x＋(r1)=0例7、已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；m为何整数时，原方程的根也是整数．解：(1证明：（m3)24(m1)=m26m94m4=m22m5=(m1)24．∵(m1)2≥0，∴(m1)24＞0．∴无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数2分m3 (m1)24xm3 (m1)24得x 3分2要使原方程的根是整数，必须使得(m1)24是完全平方数.设(m1)24a2，则(am1)(am1)4.∵am1和am1的奇偶性相同，学习资料 欢迎下载am12, am12,可得 或am12. am12.a2, a2,解得 或 5分m1. m1.m3 (m1)2m3 (m1)242x2,x1 2

0符合题意 6分∴当m=－1时，原方程的根是整数 7分8x的方程(k1)x22kxk30．k的取值范围；yy2(a4kya10（a为正整数．（）4k24(k1)k3)=4k24k28k1212 1分∵方程有两个不相等的实数根，k10, k10,0. 即8k120.3∴k的取值范围是k 且k1． 3分32（2）当方程有两个相等的实数根时，△=12=0．3∴k

． 4分2yy2(a6)ya10．∴'(a6)24(a1)a212a364a4a216a32(a8)232．a为正整数，当(a8)232设(a8)232m2（其中m为整数，32pq（p、q均为整数，(a8)2m232．即(a8m)(a8m)32．a8mp, pq16不妨设 两式相加，得a ．a8m2(a8m与(a8m的奇偶性相同，∴32可分解为21648(2)(16)(4)(8)，pq18或12或18或12．a17或14或1（不合题意，舍去）或2．a17y

学习资料 欢迎下载117

2，

9．……5分a14y

282

，即y1

13，y2

25．……6分a2y

42

3，

1． 7分2 1 2例9（011西城二模）阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的两个实数根分别为x，x，则xx

b，xxc．1 2 1

a 1 2 a解决下列问题：已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程ax2bxc0有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：4abc 0，a ，c （填“＞“＜”或“＝）ax2b