高中数学 131推出与充分条件、必要条件 新人教B选修1

1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式...1．知识与技能(1)了解“如果是p，则q”形式的命题，并能判断命题的真假；(2)理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；(3)掌握充分条件、必要条件和充要条件的判定方法．2．过程与方法通过实例，探索充分条件、必要条件及充要条件的判定方法，学会用数学观点分析解决实际问题．.3．情感、态度与价值观通过对“p⇒q”“q⇒p”的判断，使学生感受对立统一的思想，培养学生的辩证唯物主义观点，体会从特殊到一般的思维方法．..本节重点：充分条件、必要条件、充要条件的判定．本节难点：判定所给条件是充分条件、必要条件，还是充要条件．..本节内容比较抽象，在学习中应注意以下几个方面：1．学习本节内容要多从分析实例入手理解概念，利用集合的观点加深理解．2．(1)从不同角度，运用从特殊到一般的思维方法，归纳出条件与结论的推出关系，建立充分条件、必要条件的概念．(2)要判断充分条件、必要条件，就是利用已有知识，借助代数推理的方法，判断p是否推出q，q是否推出p...1．当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作

，读作

.2．如果p⇒q，则p叫做q的

条件．3．如果q⇒p，则p叫做q的

条件．4．如果既有p⇒q成立，又有q⇒p成立，记作

，则p叫做q的

条件．p⇒qp推出q充分必要p⇔q充要..[例1]给出下列四组命题：(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．.[解析](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0⇒

x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根⇒

m<－2.∴p是q的充分不必要条件．///.(4)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线相等；而四边形的对角线相等⇒四边形是矩形，∴p是q的充分不必要条件．[规律方法](1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q为真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p为真，则p是q成立的必要条件．(2)注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断．(3)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手进行判断．/.A．充分非必要条件 B．充分必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件[答案]A.[例2]设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那么甲是乙的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]解不等式|x－2|<3得－1<x<5，∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5⇒0<x<5，∴甲是乙的充分不必要条件，故选A./.[规律方法]一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙为x∈B.当且仅当A⊆B时，甲为乙的充分条件；当且仅当B⊆A时，甲为乙的必要条件；当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件；.设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件.[解析]先分别写出适合条件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．由已知可得x∈M或x∈P即x∈R，x∈M∩P即2<x<3，∴2<x<3⇒x∈R，但x∈R⇒2<x<3，∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故应选B./.[例3]证明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0..[说明]证明充要条件问题时，要弄清条件和结论，由条件推出结论这是充分性，由结论推出条件这是必要性，避免在论证中将充分性错当必要性．.方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？..[例4]已知px2－8x－20>0，qx2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．[解析]解不等式x2－8x－20>0，得pA＝{x|x>10或x<－2}．解不等式x2－2x＋1－a2>0得qB＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}.(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取到)解得0<a≤3.∴正实数a的取值范围是0<a≤3..[规律方法](1)解决此类问题的关键是将p、q之间的充要关系转化为p、q确定的集合之间的包含关系，同时注意命题等价性的应用，可简化解题过程。(2)本例将命题p、q的关系转化为集合A、B之间的包含关系，体现了转化与化归的思想，在确定AB后有时需要对A是否非空进行讨论，体现了分类讨论思想，但本题集合A是确定的不需讨论．.本例若改为已知px2－8x－20≤0，qx2－2x＋1－a2≤0，若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．[解析]解不等式x2－8x－20≤0，得pA＝{x|－2≤x≤10}，解不等式x2－2x＋1－a2≤0，得qB＝{x|1－a≤x≤1＋a，a>0}．依题意q⇒p，但是p不能推出q，说明B

A，.∴0<a≤3，∴正实数a的取值范围0<a≤3...[例5]一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ()A．a<0 B．a>0C．a<－1 D．a<1.[辨析]知识点掌握的不够牢固，不够熟练，一般会出现这种问题．充分不必要条件和必要不充分条件的应用在解题时往往易产生混淆性错误，出错原因有两个：①对定义理解不够深刻．比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q是p的必要条件．它们都是表述相同的关系，只是换个说法而已；②对数学中的文字语言把握不准确．比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q的充分条件是p.根据经验，有的同学对后一种说法不注意或不理解．在解题中，同学们一方面只要牢牢抓住我们的记忆口诀“推出”即“充分”，“被推出”即“必要”，“推不出”就是.“不充分”，“不被推出”就是“不必要”就可解决第一个错因；另一方面，在解题中，把题目所给出的形式还原成定义形式(p是q的××条件)可豁然开朗．..一、选择题1．(2009·安徽文，4)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的 ()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]本题考查不等式的性质及充分条件、必要条件的概念．如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋c>b＋d，但a<b，故由“a＋c>b＋d”⇒/“a>b且c>d”，.由不等式的性质可知，a>b且c>d，则a＋c>b＋d，∴“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．

.[答案]D[解析]由N⊆M⇒M∩N＝N成立；由M∩N＝N⇒N⊆M成立．.[答案]C[解析]

x＝－1、3、5时，2x2－5x－3≥0成立，而2x2－5x－3≥0成立，x不一定等于－1、3、5..二、填空题4．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要条件[解析]

∵x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.5．(a－1)(b＋2)＝0的________条件是a＝1.[答案]充分不必要.三、解答题6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝