高中数学 13.1、2、3　精品同步导学 北师大选修11

§3全称量词与存在量词

.3.1全称量词与全称命题.3.2存在量词与特称命题.3.3全称命题与特称命题的否定..1.理解全称命题和特称命题．2.能判定全称命题和特称命题的真假．3.理解全称命题、特称命题的否定之间的关系．4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定..1.对全称命题和特称命题的理解．(重点)2.对不含量词的全称命题和特称命题真假的判断．(易混点)3.对全称命题和特称命题的否定的理解．(重点)4.写出全称命题和特称命题的否定．(易混点)..[提示]充分2．命题有四种形式，否命题相对于原命题来说否定的什么？[提示]既否定条件又否定结论．.全称命题与特称命题全称命题特称命题量词在一些命题的条件中，“所有”“每一个”“任何一个”“任意一个”“一切”等都是在指定范围内，表示

的含义，这样的词叫作全称量词在一些命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示

的含义，这样的词叫作存在量词命题含有全称量词的命题含有存在量词的命题形式对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为任意的x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)，即在M中存在一个元素x0，使p(x0)成立．否定存在x0∈M，p(x0)不成立．

的否定是

.任意的x∈M，非p(x)．

的否定是

.整体或全部个别或一部分全称命题特称命题特称命题全称命题.1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在一个实数x0使不等式x02－3x0＋6<0成立答案：B.2．命题“有的函数没有解析式”的否定是()A．有的函数有解析式B．任何函数都没有解析式C．任何函数都有解析式D．多数函数有解析式解析：原命题是特称命题，它的否定应是全称命题．答案：C.3．下列语句：①有一个实数a不能取对数；②所有不等式的解集A，都有A⊆R；③有的向量方向不定；④自然数的平方是正数．其中全称命题有________(填序号)，特称命题有__________(填序号)．解析：因为①③含有存在量词，所以①③为特称命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”．②含有全称量词，故②④均为全称命题．答案：②④①③.4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)当a＞1时，则对任意x，曲线y＝ax与曲线y＝logax有交点．(2)被5整除的整数的末位数字都是0.(3)有的四边形没有外接圆．.解析：(1)、(2)是全称命题，(3)是特称命题，对(1)当a＞1时，y＝ax与y＝logax都是增函数且两函数是互为反函数；图象关于直线y＝x对称故没有交点．所以(1)是假命题．对于(2)∵末位数字是5的整数也能被5整除．∴(2)是假命题．对于(3)∵只有对角互补的四边形才有外接圆，∴(3)是真命题...判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．.首先确定命题中含有的量词，再判断命题的形式．.[解题过程]

序号结论理由(1)全称命题可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°(2)特称命题含有存在量词“有的”(3)全称命题含有全称量词“任意”(4)全称命题可以改为所有矩形的对角线不相等(5)全称命题若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形.1.判断下列语句是否是全称命题或存在性命题：①有一个实数a，a不能取对数；②所有不等式的解集A，都有A⊆R；③三角函数都是周期函数吗？④有的向量方向不确定；⑤自然数的平方是正数．.解析：

∵①④含有存在量词，∴命题①④为存在性命题；又∵“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，∴②⑤均含有全称量词，故为全称命题．③不是命题．综上所述：①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题．.判断下列命题的真假：(1)p：所有的单位向量都相等；(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；(3)p：存在x0∈R，x02＋2x0＋3≤0；(4)p：存在等差数列{an}，其前n项和Sn＝n2＋2n－1....2.判断下列命题的真假．(1)所有的素数都是奇数；(2)有一个实数，使x2＋2x＋3＝0；(3)有些整数只有两个正因数；(4)所有奇数都能被3整除．.解析：(1)2是素数，但不是奇数，所以，全称命题“所有素数都是奇数”是假命题．(2)对于任意x，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以特称命题“有一个实数，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．(4)由于存在奇数1不能被3整数，所以全称命题“所有奇数都能被3整除”是假命题．.(2011·辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n＜1000解析：由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p为∀n∈N,2n≤1000.答案：A.写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：任意的x∈R，都有|x|＝x；(2)p：任意的x∈R，x3>x2；(3)p：至少有一个二次函数没有零点；(4)p：存在一个角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1..[解题过程](1)p是全称命题．p的否定是：存在x0∈R，有|x0|≠x0，如x0＝－1，|－1|＝1≠－1.所以p的否定是真命题．(2)p是全称命题．p的否定是：存在x0∈R，x03≤x02，如x0＝－1时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以p的否定是真命题．.(3)p是特称命题．p的否定是：所有二次函数都有零点，如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0.任意的x0∈R，y＝x02＋2x0＋3≠0.所以p是真命题，因此p的否定是假命题．(4)p是特称命题．p的否定是：任意的α∈R，sin2α＋cos2α＝1，设任意角α终边与单位圆的交点为P(x，y)．则sinα＝y，cosα＝x，显然有sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1，所以p的否定是真命题．.3.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形；(4)存在一个实数x0，使得3x0<0..解析：(1)全称命题，且为真命题．否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，且它的内角和不等于180°.(2)全称命题，且为假命题．否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)特称命题，且为真命题．否定：所有四边形都是平行四边形．(4)特称命题，且为假命题．否定：对于所有实数x，都满足3x≥0..1．全称量词概念：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．.注意以下几点：(1)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为∀x∈M，p(x)；(2)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．例如p：对所有整数x，x2－1＝0，q：对所有整数x,5x－1是整数，其中命题p、q都是全称命题．.2．存在量词概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．注意以下几点：(1)特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)．(2)存在命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．.同一个全称命题、存在命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择：命题全称命题“∀x∈A，p(x)”存在命题“∃x∈A，p(x)”表述方法所有的x∈A，p(x)成立存在x∈A，使p(x)成立对一切x∈A，p(x)成立至少有一个x∈A，使p(x)成立对每一个x∈A，p(x)成立对有些x∈A，使p(x)成立任选一个x∈A，使p(x)成立对某个x∈A，使p(x)成立凡x∈A，都有p(x)成立有一个x∈A，使p(x)成立.1．含有一个量词的命题的否定．含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．.特称命题的否定是全称命题．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式．在写两种命题的否定时，要牢牢掌握形式上的两个变化，全称量词与特称量词的变化，条件p(x)和綈p(x)的变化．.2．常见量词及其否定形式常见量词及其否定形式如下表.量词否定词量词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于.◎写出下列命题的否定形式的命题．(1)矩形的四个角都是直角；(2)所有的方程都有实数解；(3)4＜3.【