投资学-课件b ch21期权定价

第21章

期权定价第21章期权定价21.1导言21.2期权价值的限制21.3二项式期权定价21.4布莱克-斯克尔斯期权定价模型21.5布莱克-斯克尔斯公式的应用21.6期权价格的实证证据21.1导言

考虑某时刻处于虚值状态的看涨期权，这时股票价格低于执行价格，在这种情况下，并不意味着期权没有价值。即便现在执行该期权无利可图，但期权的价格仍为正值，因为在到期前股票价格很有可能会大幅上扬使得执行期权可获得收益。否则，最坏的结果不过是期权以零值失效。

期权的大部分时间价值其实是一种“波动性价值”，只要持有者不执行期权，其收益就不可能小于零。虽然看涨期权现在处于虚值，但仍然具有正的价格，因为一旦股价上升，就存在潜在的获利机会，而在股价下跌时却不会遭受更多的损失。波动性价值依赖于当执行对自己不利时可以不执行的权利。期权的执行是权利，而不是义务，期权在股票价格下跌时提供了保险。21.1.1内在价值与时间价值内在价值–立即执行该期权能获的收入看涨期权:股票价格—执行价格看跌期权:执行价格—股票价格时间价值虚值期权与平价期权的内在价值为零，期权实际价格与内在价值的差通常称为期权的时间价值。期权的时间价值：看涨期权期权价值OptionvalueX股票价格StockPrice看涨期权价值ValueofCall内在价值IntrinsicValue时间价值Timevalue21.1.2期权价值的决定因素影响看涨期权价值的因素至少有六个：股票价格、执行价格、股票价格的波动性、到期期限、利率及股票红利率。期权价值的决定因素

如果该变量增加期权价值的变化

股票价格S

执行价格X

波动性σ

到期时间T

利率rf

红利支付

表21-1看涨期权价值的决定因素

如果该变量增加看涨期权价值的变化

股票价格S增加

执行价格X降低

波动性σ增加

到期时间T增加

利率rf

增加

红利支付降低

美式看跌期权价值的决定因素

如果该变量增加美式看跌期权价值的变化

股票价格S降低

执行价格X增加

波动性σ增加

到期时间T增加

利率rf

降低

红利支付增加

21.2期权价值的限制21.2.1看涨期权价值的限制看涨期权价值最为明显的限制是其价值不可能为负。因为期权并不一定行使，它不会给持有人带来任何义务或负债；进一步讲，只要行使期权有可能带来收益，期权就会具有一个正的价值。其收益最少为零，而且有可能为正，所以投资者是乐意支付一笔钱去购买看涨期权的。假定股票将在到期日之前的时间T(现时为0时刻)支付数量为D的红利，现在比较两个资产组合，一个包括一份股票看涨期权，而另一个则是由股票与数额为(X+D)/(1+rf)T的借款构成的杠杆化股权头寸，在期权到期日那天，借款偿付额为(X+D)美元。21.2.1看涨期权价值的限制举例来说，一个执行价格为70美元的半年期期权，在此期间公司将向股东持有的每一股股票支付红利5美元，有效年利率为10%，那么购买股票的同时，须借一笔数额为75美元/(1.10)1/2=71.51美元的借款，六个月后当借款到期时偿还75美元。到期日杠杆化股权头寸的收益如下:项目一般表达式数字股票价值ST+DST+5减：货款偿还额-(X+D)-75总计ST-XST-7021.2.1看涨期权价值的限制图21-2看涨期权价值的可能范围图21-3看涨期权价值与股票现价之间的函数关系21.2.2提前执行期权与股息想取消交易的看涨期权持有者有两个选择，执行期权或将其售出。如果持有者在t时间执行期权，获得赢利St-X(假定为实值期权)。我们已经知道，期权最低可以St-PV(X)-PV(D)的价格卖出，所以对于不付红利的股票期权而言，C大于St-PV(X)，因为X的现值小于X，所以，有C≥St-PV(X)≥St-X这意味着以价格C出售期权的收益一定大于执行期权的收益，所以出售期权使其仍继续存在比执行期权而结束它在经济上更有吸引力。21.2.3美式看跌期权的提前执行对于美式看跌期权而言，肯定会有提前执行而达到最优的可能性。我们下面通过一个简单的例子来加以说明。假定你购买了一份股票看跌期权，不久，公司破产，股票价格变为零，这时你肯定会立即执行期权，因为股票价格已经不可能再跌了。立即执行会获得执行价格，可以重新投资获利。推迟执行则意味着损失资金的时间价值，在到期日之前执行看跌期权的权利是有价值的。现在假定公司只是面临破产，股票跌至几美分，马上执行期权仍是最优选择，虽然股票价格仍会下降，但仅仅是几美分而已，将来执行不过比现在执行多得到几美分的收益。要在可能多获得的很少的收益与推迟执行带来的资金时间价值的损失之间进行权衡。显然，当股票价格低于某些值时提前执行是最优选择。21.2.3美式看跌期权的提前执行

从以上论述可知，美式看跌期权比欧式看跌期权的价值高，美式看跌期权允许在到期日之前的任一时点执行，因为提前执行在某些情形下极为有用，会在资本市场上获得正的价格。于是，在其他条件相同时，美式看跌期权的价格高于欧式看跌期权。

图21-4a)给出了美式看跌期权的价值与股票现价S0之间的函数关系。一旦股价跌破临界值(图中记作S*)，执行就是最优决策。在这一点，期权价值曲线与代表期权内在价值的直线相切。当股价达到S*时，看跌期权被执行，其收益等于期权的内在价值。

作为比较，欧式看跌期权的价值画在图21-4b中，内在价值线并不是其渐近线。因为欧式期权不允许提前执行，所以欧式看跌期权的最大值是PV(X)，发生在S0=0时。显然，时间越长，PV(X)越小。图21-4看跌期权价值与股票现价之间的函数关系美式看跌期权的价值欧式看跌期权的价值21.3二项式期权定价21.3.1两状态期权定价

假定现在股票价格为S0=100美元，年底的股票价格可能升至u=1.2即股价为120美元，或者降至d=0.9即股价90美元。该股票的看涨期权的执行价格为110美元，有效期为一年。利率是10%。如果年底的股票价格下跌了，看涨期权持有者的收益将会是0；如果股票价格涨到了120美元，期权持有者将会获得10美元的收益。

将看涨期权的收益与一个由一股股票与以10%的利率借81.82美元组成的资产组合的收益进行比较，这一资产组合的收益也取决于年末的股票价格：21.3二项式期权定价100120oru=1.290ord=0.9股票价格C100看涨期权价值执行价格X=110二项式期权定价模型：举例另一个组合买1股100元的股票，借$81.82（10%的利率）净支出是$18.18收入年末股票价值90120贷款本金及利率

-90-90净收入 03018.18300收入结构正好是看涨期权的3倍二项式期权定价模型：举例18.18300C1003C=$18.18C=$6.06收入和期权价值的另一种观点

1股股票和3个售出的看涨期权的组合恰好被套期保值

股票价值 90 120 3个售出的看涨期权的义务0

-30

净收入90 90100-3C=81.81（90/1.1）orC=6.06套期保值率对于其他两状

态期权问题，套

期保值率一般

公式如右示：

这里，Cu或者Cd分别是看涨期权在股票价格上涨与下跌时的价值，而uS0与dS0分别是两状态下的股票价格。套期保值率为H二项式期权定价步骤用上面的例子，期权定价技术将包括以下步骤：1)给定可能的年末股票价格,uS0=120与dS0=90，执行价格X为110美元，计算Cu=10与Cd=0。股票价格的变动范围为30美元，而期权价格的波动范围是10美元。2)套期保值率为10/30=1/3。3)由1/3股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为30美元。4)年利率为10%、30美元的现值为27.27元。5)让套期保值头寸的现值等于将来的确定收益的现值：1/3S0-C0=27.27美元33.3-C0=27.27美元6)解出看涨期权的价值，C0=6.06美元。

21.4布莱克-斯科尔斯期权定价模型

布莱克、斯科尔斯与默顿发现了计算看涨期权价值的公式，斯科尔斯与默顿也因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。假设：1)在期权到期之前，股票不支付红利。2)利率r与股票的方差σ2保持不变(或更一般化些，两者均是时间的函数，完全可预期)。3)股票价格是连续的，也就是说股票价格不会发生突然的大的波动。该公式如下：21.4布莱克-斯科尔斯公式Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)d1=[ln(So/X)+(r+s2/2)T]/(sT1/2)d2=d1-(sT1/2)式中:Co=当前看涨期权的价值.So=当前股票价格N(d)=标准正态分布小于d的概率21.4布莱克-斯科尔斯公式布莱克-斯科尔斯期权定价模型X=执行价格.e=2.71828,自然对数函数的底数.r=无风险利率.T=期权到期前的时间（以年为单位）ln=自然对数=股票连续复利年收益率的标准差例21-2布莱克-斯科尔斯看涨期权计算举例股票价格So=100 执行价格 X=95利率r=0.10 到期时间 T=0.25(3个月)标准差s=0.50 d1=[ln(100/95)+(0.10+(0.52/2)0.25)]/(.5

.251/2) =0.43d2=0.43-((0.5)(0.251/2) =0.18累积正态分布的概率N(.43)=.6664

表21-2 d N(d) .42 .6628 .43 .6664添写Interpolation .44 .6700正态分布的概率N(.18)=.5714表21-2累积正态分布 dN(d) .16 .5636 .18 .5714 .20 .5793看涨期权价值Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)Co=100X.6664-95e-.10X.25X.5714Co=13.70隐含波动性用布莱克-斯科尔斯公式和实际期权价格来解决波动性隐含波动性是否与股票具有一致性？看跌期权价值：布莱克-斯科尔斯公式P=Xe-rT[1-N(d2)]-S0[1-N(d1)]用上例的数据P=$95e(-.10X.25)(1-.5714)-$100(1-.6664)P=$6.3521.5布莱克-舒尔斯公式的应用