第八章7-离散时间系统变换域

§8-7离散时间序列的傅里叶变换

傅里叶变换：傅里叶反变换：1、离散系列傅里叶级数或离散序列傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform,DTFT）

2、离散时间序列的频谱图

3、离散序列傅里叶变换性质一、离散序列傅里叶变换DTFT公式c是一个包围z平面原点的闭合路径假设F(z)的收敛区间包括单位圆

可以令c等于单位圆

一、离散序列傅里叶变换DTFT公式正变换反变换DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。

频谱密度函数例1：求离散序列的傅里叶变换。

解：

|z|>10<|z|或者：二、离散时间序列的频谱图

|F(ej)|幅频特性曲线

()相频特性曲线

周期为2的函数F(ej)|是一个周期等于2的函数三、离散序列傅里叶变换性质练习：对连续信号进行时域离散化得到离散样本序列，间隔试画出该离散序列的频谱图。8-84(一)系统函数零状态线性E(z)Y(z)H(z)的计算§8-8离散时间系统频率响应1系统极零图的描述极(零)点或为实数出现或为共轭的复数成对出现2H(z)与时域响应3H(z)与因果系统稳定性极点都在单位圆的内部，或D(z)=0的特征根的模小于1；

（二）离散时间系统频率响应一、定义H(jw)=FT{h(t)}离散系统的频响：系统对复正弦信号ejwk的响应仍然是同频率的复正弦信号ejwk

，其相位和幅度有所变化；例1

某二阶系统由差分方程

试求其幅频和相频特性。

解：

例1

某二阶系统由差分方程

试求其幅频和相频特性。

例1

某二阶系统由差分方程

试求其幅频和相频特性。

求激励序列为例2：已知的响应H(z)H(z)H(-1)=32/3稳态响应序列

例3

某二阶系统的差分方程

试求响应。

无法用z变换进行分析

解：e(t)=1,w1=0r0=20r1=0r(t)=20二、系统的频率响应的几何确定靠近单位圆周的极点附近有尖峰（1）z=0处的零极点对幅频特性|H(ejw)|没有影响，只对相位有影响；（2）当z=0旋转某个极点pi

附近时，例如在同一半径上时，Bi较短，则|H(ejw)|在该点应当出现一个峰值，Bi越短，pi附近越尖锐。若pi落在单位圆上，则Bi=0，则pi

处的峰值趋于无穷大；（3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反。三、频响曲线的特点4、离散时间系统中，同样有低通滤波器、高通滤波器以及带通滤波器等。只不过这时候的频率只考虑在-<<频率范围内。1、幅频响应是频率的偶函数，相频响应是频率的奇函数；3、幅频响应函数和相频响应函数都是频率w的周期性函数，周期频率为s=2；2、幅频响应和相频响应是频率w的连续函数；四、几种特殊的离散时间系统：低通、高通、带通、带阻全通系统最小相位系统最小相位系统：极零点全部在单位圆内。全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数,或）全通m=n;2)§8-9离散时间系统与连续时间系统变换域分析法的比较1、s平面和z平面

2、收敛域

拉普拉斯变换中的收敛区间的边界一般是一条平行与虚轴的直线z变换中的收敛区边界则往往是一个以原点为圆心的圆

Re[s]Im[s]Re[z]Im[z]3、反变换

s平面中是沿着收敛区间中的一条平行于虚轴的直线进行的线积分

z平面中这时沿着收敛域中一个闭合路径作围线积分

部分分式分解法

4、变换域中的系统函数

H(s)H(z)稳定的连续因果系统的极点出现在s平面虚轴以左的半个平面中

稳定的离散时间因果系统的极点出现在z平面单位圆内

罗斯霍维斯准则

5、因果性6、傅里叶变换

离散：傅里叶变换则是z变换在单位圆上的特例。

连续：傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换在虚轴上的特例；s=jw连：h(t)是右边（有始）信号——>维纳.佩利准则离：h(k)是右边（有始）序列——>m<=n7、频率响应

连续：H(jw)=|H(jw)|ej()离散：H(z)1、非周期的连续时间信号的频谱是连续频率的非周期函数；

F(jω)=F{f(t)}即f(t)的付立叶变换4、周期的离散时间信号的频谱是离散频率的周期函数；3、非周期的离散时间信号的频谱是连续频率的周期函数；8、信号与频谱2、周期连续时间信号的频谱是离散频率的非周期函数；

一个域的非周期性对应于另一个域的连续性；8、信号与频谱结论：信号的两个域：时域与频域一个域的周期性对应于另一个域的离散性；已知某离散系统的差分方程为

例1：其初始状态为

求：1）零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k)；2）指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3）判断该系统的稳定性。激励：系统临界稳定。

3）系统的特征根为1=0.5（单位圆内），2=1（单位圆上）解：特征根为1=0.5，2=1解：特征根为1=0.5，2=11）

yzi(k)=C10.5k+C2；C1=2，C2=2零输入响应：yzi(k)=(220.5k)(k)Yzs(z)=H(z)E(z)=零状态响应：yzs(k)=(0.5k+k1)(k)

全响应：y(k)=(1+k0.5k)(k)

全响应＝零输入响应＋零状态响应已知某离散系统的差分方程为

例1：其初始状态为

激励：2）零输入响应：yzi(k)=(220.5k)(k)零状态响应：yzs(k)=(0.5k+k1)(k)

全响应：y(k)=(1+k0.5k)(k)

已知某离散系统的差分方程为

例1：其初始状态为

激励：1）自由响应：(10.5k)(k)受迫响应：k(k)，严格地说是混合响应。例2已知某离散时间系统的单位函数响应

2）画出该系统的框图。1）求其系统函数H(z)；解一：1）系统函数为：

h(k)={1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,…}k=0=1z-2+z-4

z-6+z-8

z-10+……已知某离散时间系统的单位函数响应

2）

画出该系统的框图。1）求其系统函数H(z)；=(1z-2)(1+z-4+z-8+……)=例2解二：2）y(k+2)+y(k)=x(k+2)已知某离散时间系统的单位函数响应

2）

画出该系统的框图。1）求其系统函数H(z)；例2解：X

(z)Y(z)z-1∑z-1-x(k)y(k)D∑D-1）3)求其幅频响解答：例3、已知某离散时间因果系统的极点为p1=0.7和p2=0.9零点的位置不详。其单位函数响应为

（1）求该系统的系统函数，（2）并作出其模拟框图。

h(k)=(k)+(C10.7k-1+C20.9k-1)(k-1)h(1)=2,h(2)=1.6h(k)=(k)+(0.7k-1+0.9k-1)(k-1)（1）求该系统的系统函数C1=C2=1解答：例3、已知某离散时间因果系统的极点为p1=0.7和p2=0.9零点的位置不详。其单位函数响应为

（1）求该系统的系统函数，（2）并作出其模拟框图。

（2）并作出其模拟框图∑1.6-0.63∑0.4-0.97Y(z)E(z)例4、已知离散系统差分方程为：

求：y(k+2)+0.4y(k+1)-0.32y(k)=e(k+2)+e(k+1)2）分析系统是否稳定？3）求h(k)1）系统函数H(z);解答：1）系统函数H(z)2）稳定3）练习一:

已知离散因果系统的数学模型为

y(k)-0.25y(k-2)=2e(k)-4e(k-1)+2e(k-2)1、作出该系统的模拟框图；2、若y(-1)=3，y(-2)=2时，全响应y(k