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2第二节常数项级数的审敛法一.正项级数及一般审敛法则若定理1

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,则由于则部分和数列有界,故从而又已知因此它有界.则称为正项级数.收敛,单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”3定理2(比较审敛法)设和是两个正项级数,且存在对一切有(常数k>0)(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:因为级数前加、减有限项不改变级数的敛散性,因此不妨设对一切令则有:收敛,也收敛;发散,也发散.和分别表示强级数和弱级数的部分和,则有都有4(1)若强级数则有因此对一切有由定理

1

可知,弱级数则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,5解由图可知6重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.78910定理3.(比较审敛法的极限形式)设和是两个正项级数,若则有(1)当时,两个级数同时收敛或发散;(2)当且级数收敛时,级数也收敛;(3)当且级数发散时,级数也发散.证:根据极限定义,对存在当时,即有11(1)当时,取由定理

2

可知级数与同时收敛或同时发散;(2)当时,由定理2可知,若级数收敛,也收敛.利用(3)当时,存在当时,即由定理2可知,若级数发散,则级数也发散.则级数12∼例4.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知级数发散.例8.

判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知收敛.∼1314二.比值审敛法和根值审敛法1.比值审敛法定理4设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)当由取使收敛,收敛.时,级数收敛;或时,级数发散.时,知存在当时由比较审敛法可知,级数15或时,必存在当因此所以级数发散.时,(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如

p-级数但级数收敛级数发散16解17比值审敛法失效,改用比较审敛法18例7.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:当时,级数收敛;当时,级数发散;当时,级数发散.而192.根值审敛法定理5设为正项级数,且则(1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散.20时,级数可能收敛也可能发散.例如

p-级数说明:但级数收敛级数发散2122三.交错级数及其审敛法各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件则级数收敛,且其和其余项的绝对值莱布尼兹

(德)

1646∼171623证:显然是单调递增有界数列,因此有又故级数收敛于S,且的余项:24收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛2526四.绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,原级数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.则称可以证明:绝对收敛的级数一定收敛.27例17.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.28(2)令因此收敛,绝对收敛.293031作业11-2:P2681(3)

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