函数的奇偶性（第一课时）课件-学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.2.2函数的奇偶性第一课时函数的奇偶性(一)1.理解奇函数、偶函数的定义，会判断函数的奇偶性.2.掌握奇函数、偶函数的图象特征.课标要求素养要求由图象抽象出函数性质，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.奇函数、偶函数的图象特征(1)如果F(x)的图象是以______为对称轴的轴对称图形，就称F(x)是偶函数.(2)如果F(x)的图象是以______为中心的中心对称图形，就称F(x)是奇函数.y轴原点2.奇函数、偶函数的数学符号描述(1)如果对一切使F(x)有定义的x，________也有定义，并且_______________成立，则称F(x)为偶函数，偶函数就是满足条件F(－x)＝F(x)的函数.(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且________________成立，则称F(x)为奇函数，奇函数就是满足条件F(－x)＝－F(x)的函数.F(－x)F(－x)＝F(x)F(－x)＝－F(x)点睛(1)一看定义域.定义域D具有对称性，即∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数.如f(x)＝x2，x∈R是偶函数，但f(x)＝x2，x∈[－1，2]是非奇非偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D关于原点对称.由以上两点不难得到利用定义法判断函数奇偶性的步骤.

1.思考辨析，判断正误(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数.(

)提示

偶函数需对一切x∈R，都有f(－x)＝f(x). (2)若函数的定义域为R，则该函数不是奇函数就是偶函数.(

)

提示

只有符合定义才能判断是奇函数或偶函数，也有可能非奇非偶. (3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(

)

提示反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.(4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(

)提示存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.××××2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(

)B解析

选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.3.已知函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(

)A.(－a，－f(a)) B.(a，f(－a))C.(a，－f(a)) D.(－a，－f(－a))

解析

∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，且f(x)的定义域为R，∴f(x)为偶函数.∵点(a，f(a))一定在函数f(x)的图象上，又f(a)＝f(－a)，∴点(a，f(－a))也一定在函数f(x)的图象上.B34.若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.

解析

f(x)为偶函数，故f(－2)＝f(2)＝3.课堂互动题型剖析2题型一判断函数的奇偶性解函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.解(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.分段函数奇偶性的判断，要分别从关于原点对称的区间上来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有奇偶性.思维升华解

(1)函数的定义域为R.又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.题型二奇、偶函数的图象【例2】

定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；解

先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图.(2)解不等式xf(x)>0.解

xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性，作出对应图象根据图象观察得结论.思维升华【训练2】

已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[－5，0]上的图象；解

如图，在[0，5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即可.(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解

由(1)图可知，当且仅当x∈(－2，0)∪(2，5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).题型三利用函数奇偶性求参数值【例3】

(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________； (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.00利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解.思维升华解析

(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，－10显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.课堂小结分层训练素养提升3一、选择题1.下列函数为偶函数的是(

) A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x

解析

D中，函数f(x)＝2x＋2－x的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数.D2.(多选题)下列说法正确的为(

)A.图象关于原点对称的函数是奇函数B.图象关于y轴对称的函数是偶函数C.奇函数的图象一定过原点D.偶函数的图象一定与y轴相交AB3.对于定义在R上的函数f(x)，给出下列判断：(1)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；(3)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数.其中正确的判断的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3

解析(1)仅有f(－2)＝f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故(1)错误； (2)当f(－2)≠f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(2)正确； (3)若f(－2)＝f(2)，则不能确定函数f(x)不是奇函数.如若f(x)＝0，x∈R，则f(－2)＝f(2)，但函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数，故(3)错误.BA.是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数C.是偶函数 D.是非奇非偶函数解析函数定义域是{x|x≥1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.D5.下图的四个函数图象中奇函数的个数为(

)BA.1 B.2 C.3 D.4解析从图中可看出(2)(4)两个图象关于原点成中心对称，故为奇函数.二、填空题6.若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

解析

f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若为偶函数，则a－4＝0，∴a＝4.47.已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________.

解析

f(x)为奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－6，代入得：9－3a＝－6，∴a＝5.58.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________.0解析

由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.三、解答题9.判断下列函数的奇偶性：解

(1)定义域为R，f(－x)＝f(x)＝5，∴f(x)是偶函数.(2)∵f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，10.(1)如图(1)，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.解

奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图(3)为图(1)补充后的图象，易知f(3)＝－2.(2)如图(2)，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.解偶函数y＝f(x)在y轴左侧图