专题三：数列综合题

首都师范大学附属丽泽中学培优讲座北京丰台二■中特级教师张健专题三：数列综合问题如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.每次只能移动一个金属片；在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n).贝帷f(3)=:②f(n)=.解析硕1)=1顶2)=3顶3)二羊2)+1=7.②先把上面的n-1个金属片移到2号针，需要f(n-1)次，然后把最下面的一个金属片移到3号针，需要1次，再把2号针上的n-1个金属片移到3号针，需要f(n-1)次，所以f(n)=2f(n-1)+1,得f(n)+1=2f(n-1)+1],故数列f：n)+1｝是以2为首项，公比为2的等比数列，所以f(n)+1=2n，于是f(n)=2〃-L —将全体正奇数排成一个三角形数阵： II按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为. 13】51719解析观察数阵，记第n行的第1个数为勾，则有 ?j¥一"十、•’a2-%=2，a3-a2=4，a4-a3-6,a5-a4=8,勾-勾-1-2(〃-1)-将以上各等式两边分别相加，得a〃-%=2+4+6+8+…+2(n-1)=n(n-1),所以an=n(n-1)+1,所以a45=1981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1981+16X2=2013.等比数列｛an｝中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818求数列｛an｝的通项公式；若数列｛妇满足：如=a〃+(—1)nlnan，求数列｛妇的前n项和Sn.解(1)当a1=3时，不合题意；当a1=2时，当且仅当a2=6,a3=18时，符合题意；当a1-10时，不合题意.因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3.故an-2-3n-1(nEN*).(2)因为bn=an+(-1)nlnan=2・3n-1+(T)nln(2・3n-1)=2-3n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3]=2・3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,^^以Sn=2(1+3+，,，+3n-1)+[-1+1-1+...+(-1)n]-(ln2-ln3)+[-1+2-3+...+(-1)nn]ln3.n当n为偶数时，Sn=2X^^+知3=3n+知3-1；当n为奇数时，S=2X~3n-(ln2-ln3)+[二！-Jln3=3n-土^ln3-ln2-1.n1-3 V2 7 2

〃为偶数，<3〃+知3-1,综上所述，Sn=jnn-〃为偶数，、3n ln3-In2-1,n为奇数.4.(2013•广东)设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=1,^nn=an+1—|n2—n—|,nEN*.求a2的值；求数列｛an｝的通项公式；TOC\o"1-5"\h\z1 1 17(3)证明：对一切正整数〃，有丁+； —<4.a1a? a〃412⑴解2S]=a2-3-1-3，又S1=a1=1,所以a2=4.1 22-3-1)-(2n(2)解当nN2时，2Sn=nan+1-欢3-〃2-矿，2Sn_1=(n-1)an-|(n-1)3-(n-1)2-如-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-2-3-1)-(2n整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1)，即n+j-¥=1,又号-罟1，故数列仔是首项为罟「公差为您等差数列，(3)证明1 1 1工1 1 1 1 +…+ 二1a1a2a3 an所以卡二1+(n-1)X1二n，所以(3)证明1 1 1工1 1 1 1 +…+ 二1a1a2a3 an+1+—+』+…+1<1+1+~^+-Q_5+11_717

—1—n)42n4n<4,-Q_5+11_717

—1—n)42n4n<4,—1——二1+1+(』-4+□-!■)+•..+f-^—n(n-1)4<23)<34) "n-1所以对一切正整数n，有1+—+•-+—<7a1a2 an45. (2012.广东)设数列｛an｝的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1—2n+1+1，nEN*,a1=1求数列｛an｝的通项公式；1 1 13证明：对一切正整数〃，有一+— 一vg.a1a2 an2解：(1) •：2Sn—an+1-2n+1+1,①.•.当nN2时,2S —a-2n+1.②

①-②得2an=an+l-aw-2n+1+2n，^an+l=3an+2两边同除以2n+1得圣二3.普+1，.•.％+1+1=3停+1).又由(1)知毕+1=3传+1)，2n+122n2 2n+1 2\2n 22 2<21・•・数列假・•・数列假+1(是以3为首项，3为公比的等比数列，--2n・京+1=；•(Dn-1=(|)n,：・an=3n-2n，即数列｛。〃｝的通项公式为a〃=3n-2〃.(2)证明 Van=3n-2n=(1+2)n-2n二C^1n.20+C/Jn-1.21+C?」”-2迎2+…+%1o2n-1+2n+2(n2-n)+…+2n-2n>1+2n+2(n2-n)-1+2n2>2n2>2n(n-1),•.1-^< 1 -1 1an 3n-2n2n(n-1)2n(n-1)・1+W+・1+W+…+\1+112 n出+&+*-1+21-【+』-[+…「223工1七 1)_3 1 3 1工1工 工1 3-1+S(1-二J-S-厂5， 艮口一+—+…+—<：.2(却2 2n 2 a1a2 an 26.已知数列｛勾｝的通项公式为、=4X(|)n-1,证明：｛b｝中的任意三项不可能成等差数列.6.证明：假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设m<n<p，而«-卜(2)-1随n的增大而减小，那么只能有2b-b+b，可得2X1X(|jn-1=!x(2)m-1+>(2〉-1,nmp 4 \^J 4 \^J 4 \37则2xG)n-m-1+G)p-m.当n-mN2时，2X(|jn-m<2x(|j2=|，上式不可能成立，则只能有n-m-1，此时等式为3=1+(!)-m,即1-(2Ip-m,那么p-m-log|1，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等.所以假设不成立，那么数列｛匕｝中的任意三项不可能成等差数列.27.已知数列｛an｝和｛勾｝满足：a1=A,an_^=3an+n—4,bn=(—1)n(an—3n+21),其中义为实数，n为正整数.对任意实数兀证明：数列｛%｝不是等比数列；试判断数列｛妇是否为等比数列.证明假设存在一个实数A，使｛叫是等比数列，则有a2=a1a3，即^-3)2或(*-4)0*2-4A+9=9a2-4209=0，矛盾.所以｛a〃｝不是等比数列.解因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(2；an-2n+14)=-3(-1)n•(an-3n+21)=-3bn,又b1=-(2+18)，所以当2=-18时，匕=0(〃en*)，此时｛妇不是等比数列；当2己-18时，«=-(2+18)力0,由bn+1=-bn,可知b—0，所以b1=-3(nGN*).n故当2^-18时，数列｛bj是以-(2+18)为首项，-2为公比的等比数列；综上知，当2=-18时，数列｛匕｝构不成等比数列；当2^-18时，数列｛bn｝是以-(2+18)为首项，-2为公比的等比数列.已知等差数列｝的首项和公差都是1，其前n项和记为S.等比数列b｝的n 3 n n各项均为正数，公比为q,其前n项和记为J.(I)写出Sj(i=1,2,3,4,5)构成的集合A；(II)若q为正整数，是否存在大于1的正整数k，使得J,七同时为集合A中的元素若存在，写出所有符合条件的bj的通项公式；若不存在，请说明理由；(m)若将Sn中的整数项按从小到依次排列构成数列H，求H的一个通项公式.解：(I)因为等差数列｛a｝共有5项，首项和公差都是1，n 3一如1,n、n(—+一如1,n、n(—+—)33 n(n+1)2 6…T—

因为t=2,所以k—1所以b=-nn",T^=2.，(n>1,ngN*).kb=1.又k>1,所以b=-(k>1,kgN*).11kb(1-qk)T1-q，2kb(1-q2k)T—2kTk1, 1 1/A1 1所以匕=为d=§，气=3+(n-1)・3=3n，又1Jn<5，所以A={3,1,2,~3,5(II)因为｛b｝是等比数列，且bn＞0,qgN*，J为｛b「的前n项的和，若存在大于1的正整数k，使T,匚,同时为集合A的元素，若q=1，Tk=kb「孔广2灿1,因为q>1且qgN*,所以qk>2.r1r1T=-,T=-,5k3r1r1T=-,T=-,5k3或5k3'或5T=1;T=2;2k12kX.则TkT2k13,103;TkT2k1亏或=5;",T2k=5.TkT2k_1=3,，=1；则1+qk=3,qk=2,因为q>2,k>1,所以qn=2无解;T

kT

kT2k3,则1+qk=6,qk=5,因为qgN*，所以qn=5无解;=2;则1+qk=10,qk=9,则510 ik—2.:—3；所以牛1-32'=1,b=1,b=—x3n-1=1x3n-2；所以1-3 3'112n12 4T一1—,k3则1+qk=15,qk=14,因为qgN*，所以qn=14无解;Iq=2,

k=2.七=5；Iq=2,

k=2.若L:则1+qk=5,qk=4,则IT=5.'2kb(1-22) 7 1 1。所以 一=1,b=3,b=3X2〃-1. 10分综上所述，存在符合条件的数列{bn},其通项公式分别为b〃=〃(n>1,ngN*),b=4X3n-2,b=3X2n-1.c n(n+1)1n(n+1)(iii)因为气=七=^x*3),当n=3k(kgN*)时，Sn=2k(3k+1)，不论n为奇数还是偶数，气均为整数；当n=3k-1(kgN*)时，，广2k(3k-1)，不论n为奇数还是偶数，S.均为整数;当n=3k-2(kgN*)时，S=j(3k-2)(3k-1)，(3k-2)(3k-1)不能被3整除，n6(n+1)(3n(n+1)(3n+1),n为奇数所以c=<

n8所以c=<

nn(3n+2),n为偶数8(2013北京理科)已知｛an｝是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项a^+1，a”…的最小值记为B，d=An-Bn1，4,3...，是一个周期为4的数列(即对任意nEN*1，4,3...，是一个周期为4的数列(即对任意nEN*，d3,d4的值;a+4=a)，写出dd3,d4的值;d=-d(n=1,2,3...)d=-d(n=1,2,3...)的充分必要条件为｛an｝为公差为d的等差数列；证明：若a1=2,dn=1(n=1,2,3...)，则｛an｝的项只能是1或2，且有无穷多项为1解：(1)d]=d2=1,d3=d4=3;(2)证明：(充分性)因为公差d>0，所以数列｛an｝是单调递增数列或常数列，即a1<a2<••-<a<■■-因此A=a;B=a+】，所以d=a—a+】=-d。(必要性)1因为d=-d<0，所以A」B：+dn<Bn，又因为an<A^,a仲>Bn，所以气<a^，即数列｛勾｝是递增数列或常数列，于是A=a,B=a+1，从而公差a+1-a=B-A=d，即｛an｝是公差为d的等差数列。”(3)因为a1= 2,d1 =1，所以A1 =a1 =2,B1= A1-d=1，故对任意n> 1,a >B1 =1。假设数列｛an｝(n>2)中存在大于‘2的项，设m是满足a/2的最小正整数，显然m>2.由于a1=2，所以Am-1=2贝9Am=am>2，而dm=1，所以Bm=A^m-dm=am-1>1，所以Bm-1=min｛am,Bm｝>2，所以d,=A，-B,<2-2=0，这与d,=1矛盾.m-1 m-1 m-1 m-1所以对于任意n>1，有an<2，即非负正数数列｛an｝的各项只能是1或2.因为对任意n>1,a<2=a1，所以A=2,故B=A-d=2-1=1，因此，对任意n>1，存在m满足m>n，且a=1，即数列｛an｝有无穷多项为1.a+a10.(东城期末)若无穷数列｛a｝满足：①对任意neN*，n2"'+<气+1；②存在常数M，n对任意neN*，a<M，则称数列｛a〃｝为“T数列”.(I)若数列｛an｝的通项为a广8—2n(neN*)，证明：数列｛a〃｝为“T数列”；(II)若数列｛a〃｝的各项均为正整数，且数列｛a〃｝为“T数列”，证明：对任意neN*，(III)若数列｛a〃｝的各项均为正整数，且数列｛a〃｝为“T数列”，证明：存在n0eN*数列｛a ｝数列｛a ｝为等差数列.n0+n(I)证明：由a.=8—2n可得a2=8-2n+2，a=8-2n+1，所以a+a一2a=8-2n+8-2n+2-2(8-2n+1)=-2n<所以a+a一2aa+a所以对任意neN*，n2n12<an+1.又数列｛a」为递减数列，所以对任意neN*，a”<匕=6.所以数列｛a｝为“T数列”.n(I)证明：假设