专题03“三法”解决平面向量数量积问题(解析版)

2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第二篇三角与平面向量专题03“三法”解决平面向量数量积问题方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现.由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点.解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法.“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析.本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.解题策略类型一投影定义法【例1】【2020・山东寿光现代中学月考】如图，在平面四边形ABCD中，AB1BC,AD1CD,/BAD=120o,AB=AD=1,uuvuuv若点E为边CD上的动点，则AE-BE的最小值为()21A一21A一A16D.3C.区【答案】A【解析】连接BD,取AD中点为O,可知^ABD为等腰三角形，而AB1BC,AD1CD，所以VBCD为等- uuiv uuuv边三角形，BD=』3。设DE=tDC(0<t<1)LUTLWuuivuuivLUVUULVUUVLUVUIVUUUVLUVUULV3LUVUULVUUVAE•BE=(AD+DE)-(BD+DE)=AD-BD+DE-(AD+BD)+DE2=—+BD-DE+DE22一3 3 … 1 21K—2t+2(0<t<1)，所以当t=4时，上式取最小值行，选A.

【指点迷津】1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）:向量a,b数量积公式为a-向量a,b数量积公式为a-brrabcos。，rr可变形为a-b=cos。(r.'acos。进而与向量投影找到联系rr（1）数量积的投影定义：向量a,b的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影,rrarraTbrr（记人rTr为a在b上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解:rra-b人rr=r~aTbb即数量积除以被投影向量的模长2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1） 图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影）例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2） 从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【举一反三】uunruuiruuir[2020-海南文昌一中期末】在AABC中，AB=2AC=2，P,Q为线段BC上的点，且BP=PQ=QC.uuruur5若AP.AQ=&，则ABAC=( )代…C60°D30°uuruuiruuir【解析】不妨设IBP1=1PQ1=1QC1=x,BC=3xAAuuruuruuruuruuruur.AP.AQ=(AB+BP)-(AC+CQ)uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur=AB.AC+BP.AC+AB-CQ+BP-CQ

uuruuruuorumruuruuruuoruur=AB-AC+BP-AC-AB-BP-BP-BPuuruuruuruuruuruur=AB-AC+BP-BC-BP-BP=2cosZABC+3x2-x2=—9・.・cosZABC=-x2+—18+1-9x2由余弦定理：cos/ABc=r-联立得到：x=——3…八 1 …八…cosXABC=-—.,./ABC=120。，故选B2类型二基底法【例2【例2】［2020-赣州三中月考】在直角AABC中，M，N是斜边BC上的两个三等分点，已知AABC的面umruur积为2,则AM-AN的最小值为（*15A.——3*15A.——3C.1615「16D.—9【答案】【解析】our由题，设点M为斜边BC上靠近点b的三等分点,umrmuorumr1umr2uur1【解析】our则AM=AB+BM=AB+3BC=3AB+3AC,uuruuruuruur1uur1umr2uurAN=AC+CN=AC——BC=-AB+-AC3 3 3 ，ourumr所以AM-AN=(2uur1uur\(ourumr所以AM-AN=(2uur1uur\(1uur2uur)

-AB+-AC--AB+-AC"3 3 )5uuuruuur22uur5uuruur2uur=_AB2+—AB-AC+-AC2999uuuruur因为直角VABC，所以AB1AC,则AB・AC=0,因为，“海uuruur..umrAB2+AC2—2AB|・|AC=8,当且仅当uuruuruur.umr二|・|AC=2AB|-|ACuur..umr=2,则AB|・|AC=4,所以uur 」AB=AC=2时等号成立，所以AM•AN—~x8=k，故选Duuuuruuur216【指点迷津】rr rr遇到几何图形中计算某两个向量a,b数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（a,b模长，夹角），rr那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将a,b两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.

如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.【举一反三】[2020-江苏金陵中学开学考试】在等腰AABC中，已知底边BC=2，点d为边AC的中点，点E为边ABini'ini' 1uuruur上一点且满足EB=2AE，若BD-AC=--，则EC-AB=4【答案】3uuruuruuruur1uuruur1/umruur)1/uuruur)【解析】QD为AC的中点，BD=BA+AD=BA+—AC=BA+BC—BA)=BA+BC)2 2 2uuirunruurAC=BC-BAuur即22-BAuuruur1BDuuirunruurAC=BC-BAuur即22-BAuuruur1BD-AC=-2uur一=-1，可得BA=必2uurQAC2uuruuruuruuruuruur1uurBC2-2BA-BC+BA2，BA-BC=-BC2=22unruuurEC-AB=BE人AB=(2uuruur、uur-BA-BC-BA=13 )uurunruur2 4-BA2-BC-BA=—x5-2=-3 3■类型二坐标法【例3[2020广西大学附属中学月考】在四边形ABCD中，AD〃BC，AB=2乙，AD=5，/A=30。，uuvuuv点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则BD-AE=.【答案】-1.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B（2、/3,0），Dig3,：）因为AD〃BC，ABAD=30。，所以ZCBA=150°因为AE=BE，所以ABAE=ZABE=30°所以直线be的斜率为七，其方程为y=—3-(x-2^3)直线ae直线ae的斜率为一言，其方程为y=-§xy=-y(x-2血，—得x=\：3,y=—i,所以、43y=———x3_ umruur -'35一E(、/3,—1).所以BDgAE=(―^-,2)^(v'3,—1)=—1【指点迷津】常见的可考虑建系的图形：具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形带有直角的图形：直角梯形，直角三角形具备特殊角度的图形(300,45。,60。,120。等)【举一反三】【2020河北邯郸一中期末】如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，点P是MD的中点，若uurAB=2uurAB=2，umrAD=1，且ABAD=60o，uuruur

则AP-CP=【答案】-；8【解析】思路：本题抓住ABAD【答案】-；8【解析】思路：本题抓住ABAD=60。这个特殊角，可以考虑建立坐标系，uur

同时由AB=2，uurAD=1可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解：以AB为x轴，过A的垂线作为y轴得：B(2,0),D(1,毛(5l\,以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解：以AB为x轴，过A的垂线作为y轴得：B(2,0),D(1,毛(5l\,C-，后)<38，-8uur・.・AP=uur,CP=(13uuruur7AP-CP=-81717答案：一亏8强化训练uurumr1.【2019•广东顺德一中月考】如图，在AABC中，AD1AB，BC=<3BD，AD=1，则AC-AD=（ ）B.3D.-3c.-w3uuruur[uuuruuur)uurZumr)uuuruur【解析】由题知AC-AD=MD+DC、AD=MD2+DC-AD因为BC=v3BDnBD+DC=气,3BDnDC=(3-1)BDuuruur(—)uuruur(—)umrumr所以AC-AD=1+3-1BD-AD=1+3-UDB-DA

umruur又因为DB•DAumruur又因为DB•DA=uuir..umrDB|•|DAcosZADB=1，所以AC•AD=1+ 3-U=，故选A.uuuvuuuv2.[2020-天津市和平区二中月考】在VABC中，/A=60。,AB=3,AC=2.若BD=2DC,uuy uuivuuv ULUVUUIVAE=XAC-AB(XeR)，且AD•AE=-4，则人的值为3【答案】iiuuurunr umr1umr2unr【解析】AB•AC=3x2xcos600=3,AD=3AB+3AC，则TOC\o"1-5"\h\zuuruur1uur 2uuir uuruuurx 2X 1 2 3AD•AE=(-AB+—AC)(XAC—AB)=—x3+——x4-—x9-—x3=-4nX=—3 3 3 3 3 3 113.[2020-江苏徐州一中月考】如图，在VABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AD与CEuuvuuvuuvunv AB交于点O.若AB•AC=6AO•EC，则=的值是 ./I/I【答案】t'3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.AAuuruuruur/iuuruur^uuruuruuruurAOgEC=3ADgAC-A^=AB+AC^^AC-AE23fuuruur)(3fuuruur)(uur1uurA-MB+ACMAC——AB2 \ 3 )3(uuuruur1uuuruur

=_ABgAC——AB2+AC2-21 31uuuruurA-ABgAC3 )uuuruurA二uuuruurA二ABgAC-±AB2+AC213 3 )3(2uuuruur12uuuruuur1uuur3uuuruuuruuur=ABgAC-_AB2+_AC2=ABgAC22 ，1uur3uur1uur3uuruuruur得±AB2=-AC2,即AB=J3|AC,故4.[2020-海南东方一中期末】设AABC的外接圆的圆心为O，半径为2,且满足uuruuruurunrunruuruuruuruurunrOA-OB=OB-OC=OC-OA，则I^OB—OAI+IXOB-OCl(XeR)的最小值为.【答案】23uuruuuruur【解析】由题意可知，向量OA,OB,OC的模都等于2,uuruuruuruuruuruur uuruuuruur因为OA-OB=OB-OC=OC-OA，所以向量OA,OB,OC两两间的夹角为120°,uuruuruuruur由几何意义可知，要求"B—OAI+IXOB—OCI的最小值，即求直线OB上的点M到A,C两点间的距离之和的最小值，显然当A,M,C三点共线时，点M到A,C两点的距离的和最小，设uuuruuuruuuruuur质OB—OAI+IXOB—OCI=m,由余弦定理可得m =AC=V22+22-2x2x2xcos120。=2、昏.minuuuruuuruuuruuur5.[2020-江苏亳州一中月考】)在AABC所在的平面上有一点P，满足PA+PB+PC=AB，则uuruurPAPA-PBuuruuu=PB-PC1【答案】—万uuruuruuruuuruuruuruuruuruuruuruur【解析】因为PA+PB+PC=AB，二PA+PB+PC=PB—PA，二PC=—2PAuurIPCI一p，a，c三点共线，如图所示，uur-=2IPAIuuruurPA-PBuuruurPA-PBuuruur=PB-PCuur..uurPA-\PBcosZAPBuuruur P^-PCcosZCPBPAcosZAPB■uuut-T- PCcos（兀—ZAPB）PAcosZAPB—umr —PCcosZAPB12uuuruur6uuuruur6.[2020陕西宝鸡一中期中】在VABC中，AB=3，BC=4，AC=2，若点O为VABC的重心，则AO-AC的值为 5【答案】6

【解析】取BC中点为d,Q点O为VABC的重心，AO=|AD（重心的性质），LUT2UULT 3l+||-4|AO=二AD，由余弦定理得：cosABAC= (1、2x3(1、2x3x——+4"4uuuruur2uuruurAO-AC=-AD-AC31(umruur)uur1umruiruur1=_MBuuuruur2uuruurAO-AC=-AD-AC33 3 37.【2020黑龙江大庆一中期末】如图，在等腰直角三角形ABC中，ABAC=90。,AB=2，以AB为直UUTUUT UUTUUT径在VABC外作半圆O,P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若AB-AQ=2，则AQ-CP的取值范围是.取值范围是.【答案】|_-V2-1,0【解析】取AB中点为【解析】取AB中点为O，建立如下图所示的直角坐标系则A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2)，设APOB=9，0g[0,兀]，则P(cos0,sin0)kBC=0:2)t，则BC:y=x-1BC 1—(-1)uur uuur设点Q(m,m-1),mg[-1,1]，则AB=(2,0),AQ=(m+1,m-1)uuruuur unrAB-AQ=2n2(m+1)=2nm=0，.AQ=(1,-1)UUTQCP=(cos0+1,sin0+2)

uuruuor (兀、AC-CP=cos0+1-sin。一2=-sin0+cos0-1=~^/2sin。一一-1I4)Q0eQ0e[0,兀]兀3兀4，T.•.0—一e4八兀兀 uuruur /-(J2)一八则当0-4=-4,即0=°时’AC-。取最大值一72、〔-t|t=0TOC\o"1-5"\h\z八兀兀 3兀 umruur 一当0-=~，即0=~时，AC-CP取最小值-<2x1-1=-\.'2-14 2 4uuruur r n则AQ•CP的取值范围是|_-J2-1,0皿皿皿uur,,8.[2020甘肃武威一中期中】如图所示，在△ABC中，AB=AC=2,AD=DC,DE=2EB，AE的延长线uuruur umruur交uuruur umruur交BC边于点尸，若AF-BC=-；，则AE-AC=22【答案】§【解析】如图，过点D做DGPAF,B易得:EFBE_1DG一旬一B易得:EFBE_1DG一旬一3EF=1DG3 ，CD1 八八1 1…=了，故DG=~AF，可得：EF=~AFAC2 2 6BFBE1FGAD1 1~FG—旬—2，g^~~c^~i,可得 —5 ，uuruuruur1uuruor1uuruor4uur1uurDG~AF同理:uurAF=AB+BF=AB+_BC=AB+_(AC-AB)=—AB+—AC5 5 5 5 ,uuuruuur 4 uuur1 uuuruuuruuur1 uuur4uuur 2 uuuruuur4由AF-BC=-4，可得(一AB+—AC)-(AC-AB)=—AC2-—AB2+—AB-AC=-5 5 5 5 5 5 5TOC\o"1-5"\h\z1,4,2— 4 2可得.一x4一―x4+—x2x2cosZBAC=-—可得.cosZBAC=—5 5 5 5 3uuruur5uuruur54uur1uuruur2uuruur1uur2 21 22AE-AC=—AF-AC=-(—AB+-AC)-AC=-AB-AC+-AC2=_x2x2x—+—x4=——6 65 5 3 5 3 36 9，CA，CA=1，点d、E分别是边AB、BC的中9.【2020云南德宏一中期末】等腰AABC中，ZACB=§uuruur；uuruur；AE-DP的最大值为.点，点P是AABC（包括边界）内一点，则AE=TOC\o"1-5"\h\z<7 9【答案】—— -2 8…… 2兀【解析】在等腰AABC中，ZACB=-3，CA=1，所以CA=BC=1，因为E分别是边BC的中点，所以EC=1BC=1在^ACE中，ZACE=120。,\AE2,\AE2=AC2+CE2-2-AC-CE-cos120。=12+-2x1x-x21 1c7=1+—+2=—4 4umrAE=建立直角坐标系如下图所示，则A乎0建立直角坐标系如下图所示，则A乎0)D(0,0),E，设P（x，y），则uurumrAE-DP=又直线uurumrAE-DP=又直线AC的方程是y=技x+上，直线BC的方程是y=223一.1x+——，3 2-3x-y+2-0-三3x-y+1-03 2y-0令Z=¥x+y，则yfx+4Z，当直线过点Bm。9，Z有最大值；8(^31^. 、—3龙工y*丁，4J(x,y)-丁x+4，uuuruuruuuruur9所以AE-DP的