常用模拟低通滤波器的设计

会计学1常用模拟低通滤波器的设计一、为何要设计模拟低通滤波器首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标后，设计“模拟低通原型”滤波器。模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由于没学过,在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。1、Butterworth巴特渥斯滤波器2、Chebyshev切比雪夫滤波器它们都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计，它们滤波器各有特点。第1页/共64页典型模拟滤波器的特点1、Butterworth巴特渥斯滤波器它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫滤波器在通带或阻带等波纹，可提高选择性。3.Bessel贝塞尔滤波器在通带内有较好的线性相位特性。4.Ellipse椭圆滤波器其选择性相对前三种是最好的。第2页/共64页二、模拟滤波器设计思想根据模拟滤波器设计要求，求出相应的模拟系统函数.使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群时延特性)，在此我们采用幅度平方函数特性来设计。第3页/共64页三、根据幅度平方函数确定系统函数

1、求滤波器的幅度平方函数设计模拟滤波器经常要借助其幅度平方函数其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。假设p1,z1为Ha(s)的一个零点和一个极点，则-p1,-z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式：＊＊-z1-p1z1p1＊＊第4页/共64页2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤我们知道，实际滤波器都是稳定的，因此其极点一定位于S平面左半平面，这样可根据幅度平方函数通过如下步骤分配零、极点来设计出模拟滤波器的系统函数。(1)由来确定象限对称的S平面函数。(2)将因式分解，得到各零点和极点。(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性的对比就可确定出增益常数。

第5页/共64页(1)由来确定象限对称的S平面函数。

将代入中即得到s平面函数。第6页/共64页(2)将因式分解，得到各零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)。如无特殊要求，可取的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点。如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为Ha(s)的零点。且轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半属于Ha(s)

。

第7页/共64页(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性,确定出增益常数。由的条件，代入可求得增益常数。第8页/共64页例子根据以下幅度平方函数确定系统函数Ha(s).第9页/共64页四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器

1、幅度平方函数Butterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近

特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布上Ωc的圆上，并且与虚轴对称。其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅度平方函数为其中N为整数，表示滤波器的阶次，Ωc定义为截止频率，为振幅响应衰减到-3dB处的频率。第10页/共64页2、Butterworth滤波器的极点分布

由可知Butterworth的零点全部在S=∞处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为Ωc的圆上,呈象限对称分布。为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。取其分布在左平面的极点,设计出巴特沃斯低通滤波器.第11页/共64页3、Butterworth的幅度响应

及极点分布其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数极点不会落在S平面上的虚轴上第12页/共64页4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系当N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，则更接近理想矩形幅度特性。第13页/共64页5、3dB带宽第14页/共64页6、Butterworth滤波器的特点（总结）(1)当Ω=0时，即Ω=0处无衰减。(2)当Ω=Ωc时，在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有幅频特性曲线都经过-3dB点，或说衰减3dB,这就是3dB不变性。或通带最大衰减第15页/共64页(3)在Ω<Ωc的通带内：前(2N-1)阶导数为零，因而Butterworth又称最平幅度特性滤波器。随着Ω由0变到Ωc，|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，减小越慢，也就是通带内特性越平坦。有最大平坦的幅度特性，即N阶Butterworth低通滤波器在Ω=0处：第16页/共64页(4)在Ω>Ωc，即在过渡带及阻带中，|Ha(jΩ)|2

也随Ω增加而单调减小，但是Ω/Ωc>1，故比通带内衰减的速度要快得多，N越大，衰减速度越大。当Ω=Ωs

，即频率为阻带截止频率时，衰减为：(5)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，则通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而幅频特性更接近于理想的矩形频率特性。2为阻带最小衰减。第17页/共64页7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数在一般设计中，都先把Ωc设为1rad/s，这样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查。即若令第18页/共64页8、Butterworth滤波器设计步骤

(1)根据设计规定，确定Ωc和N。(2)由确定Ha(s)Ha(-s)的极点。(3)Sk

的前N个值(k=1,2,...,N)，即Re(Sk)<0部分的极点，构成Ha(s).(4)常数K0

可由A(Ω)和Ha(s)的低频或高频特性对比确定。

第19页/共64页9、例子导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设Ωc=1rad/s，N=3。解：方法一：根据幅度平方函数：第20页/共64页方法二方法二：由于Ωc=1rad/s,查表得第21页/共64页10、Butterworth滤波器的阶数N设计公式第22页/共64页(1)已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF阶数N第23页/共64页（2）已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap求ButterworthDF阶数N第24页/共64页（3）已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap和As求ButterworthDF阶数N第25页/共64页例子1试设计一个模拟低通Butterworth滤波器取N=3阶，根据N=3，查表得归一化系统函数：第26页/共64页第27页/共64页例子2设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2π,止带频率ws=0.4π,在w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz）解：设计分为4步。（1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。因为：fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz第28页/共64页对于冲激不变法，频率变换是线性的。第29页/共64页(2)设计Ha(s)将上述设计指标代入求出N阶数第30页/共64页第31页/共64页第32页/共64页第33页/共64页x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)并联型级联型第34页/共64页例子3试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。已知低通DF的3dB带宽频率，止带起始频率，在处的止带衰减解：（1）将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。对双线性变换法根据3dB带宽频率第35页/共64页第36页/共64页第37页/共64页1.试设计一个模拟低通Butterworth（BW）型滤波器，要求截止频率fp=5kHz,通带最大衰减Ap=3dB,阻带起始频率fs=10kHz,阻带衰减As=30dB。作业第38页/共64页五、切贝雪夫低通滤波器Chebyshev

1、引入原因Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。第39页/共64页2、Chebyshev滤波器的种类

在一个频带中，通带或阻带具有这种等纹特性可分为：（1）ChebyshevI型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；（2）ChebyshevII型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的；由应用的要求，决定采用哪种型式的Chebyshev滤波器第40页/共64页（1）ChebyshevI型幅频特性和零极点图（N=3）N=3ChebyshevI型，下面我们仅讲此类型第41页/共64页（2）ChebyshevII型幅频特性和零极点图（N=3）N=3ChebyshevII型，其设计思想同ChebyshevI型，在此课程中我们就不作介绍。第42页/共64页3、ChebyshevI型幅度平方函数ChebyshevI型模拟滤波器的振幅平方函数为：第43页/共64页4、CN(x):N阶Chebyshev多项式

(1)函数Chebyshev多项式：第44页/共64页（2）Chebyshev多项式图形01-11-1xC4(x)C5(x)CN(x)第45页/共64页5、通带等波纹振荡第46页/共64页6、确定通带内波纹值ε第47页/共64页7、确定阶数N

（1）N阶特性阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和。可由幅频特性中看出N阶数。且当：N=奇数，则Ω=0处有一最大值，N=偶数，则Ω=0处有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6第48页/共64页（2）N阶公式由止带起始点s处的关系求出Chebyshev的阶数。第49页/共64页8、求滤波器的系统函数Ha(s)

(1)求极点--1第50页/共64页8、求滤波器的系统函数Ha(s)

(1)求极点--2第51页/共64页8、求滤波器的系统函数Ha(s)

(1)求极点--3ChebyshevI型滤波器的极点，是一组分布在以bc为长轴，以ac处为短轴的椭园上的点。第52页/共64页9、ChebyshevI型滤波器的归一化系统函数若N=偶数时，当s=0时，即=0。式中，k为归一化系数。若N=奇数时，当s=0时，即=0。第53页/共64页则归一化后的Chebyshev滤波器系统函数为第54页/共64页10、ChebyshevDF设计步骤①首先要先确定ε，N和Ωc。②计算a，b。③确定Ha(s)Ha(-s)的极点。④取Re(Si)<0的极点，得到Ha(s)。

k可由A(Ω)和Ha(s)