材料科学屈服应力应变主应力

会计学1材料科学屈服应力应变主应力

5.1有关材料的一些基本概念

材料中没有空隙裂缝，叫做“连续”；各质点性能相同，叫做“均质”；材料各个方向性能一样，叫做“各向同性”，否则就叫“各向异性”。对于各向同性材料，可用与坐标取向无关的不变量的函数来表示屈服准则。实用金属材料可以近似看成是连续均质材料。经过仔细退火的金属材料可以近似看作是各向同性材料。理想弹性材料：弹性变形时应力与应变完全成线性关系。（a，b，d）理想塑性材料：塑性变形时不产生硬化的材料。（b，c）变形硬化材料：塑性变形时要产生硬化的材料。（d，e）第1页/共74页弹塑性材料：塑性变形之前及塑性变形时，都有弹性变形。刚塑性材料：塑性变形之前不产生弹性变形。（c，e）对于大塑性变形时，弹性变形很小，可以忽略不计，可以近似看成刚塑性材料.a实际金属材料（①有物理屈服点②无明显物理屈服点）b理想弹塑性c理想刚塑性d弹塑性硬化e刚塑性硬化本章重点讨论两个适用于各向同性理想塑性材料的屈服准则。第2页/共74页5.2屈雷斯加屈服准则(最大剪应力不变条件)屈雷斯加通过对金属挤压研究，于1864年提出了一个屈服准则。他提出这一准则表述如下： 当材料（质点）中最大剪应力达到某一定值时，材料就屈服。

或者说材料处于塑性状态时，最大剪应力始终为定值。该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。第3页/共74页

只要之中有一个达到某一定值，材料即屈服如设

则常数c可以通过实验求得，屈服准则适用于任何应力状态，故可用最简单的应力状态，例如单向拉伸实验求得常数，设在某一温度和变形速度条件下，由材料单向拉伸实验所得的屈服应力为

应力状态为：得第4页/共74页于是屈雷斯加屈服准则为：若事先不知道主应力大小次序，则屈雷斯加屈服准则普遍表达为：在事先知道主应力次序的情况下，屈雷斯加准则的使用是非常方便的。但是在一般的三向应力条件下，主应力是待求的，大小次序也是不能事先知道的，这时使用屈雷斯加准则就不很方便。第5页/共74页5.3密席斯(Mises)屈服准则（弹性变形能不变条件）

Mises1913年提出密席斯屈服准则，密席斯认为，为了便于数学处理，将式子的三个式子统一起来写成平方和的形式，则左面就等于应力偏张量第二不变量的6倍。所以密席斯屈服准则可以表述为：

当应力偏张量第二不变量达到某一定值时，材料就会屈服。更为方便的表达是当质点应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的定值时，材料屈服；或者说，材料处于塑性状态时，等效应力始终是一不变的定值，即第6页/共74页用单向拉伸屈服时的应力状态代入上式即可得到常数C

则Mises屈服准则表达式为即或

第7页/共74页汉基于1924年阐明了密席斯屈服准则的物理意义：当材料的质点内单位体积的弹性形变能（形状变化的能量）达到某临界值时，材料就屈服。对于绝大多数金属材料，密席斯屈服准则接近于实验数据。第8页/共74页5.4屈服准则的几何表达屈服准则的数学表达式可以用几何图形形象化的表示出来。在坐标系中，屈服准则都是空间曲面，叫做屈服表面。如把屈服准则表示在各种平面坐标系中，则它们都是封闭曲线，叫做屈服轨迹。两向应力状态的屈服轨迹以带入密希斯屈服准则公式即可得到两向应力状态的密希斯屈服准则上式在坐标平面上是一个椭圆，它的中心在原点，对称轴与坐标轴成450，长半轴为，短半轴为，与坐标轴的截距为。这个椭圆叫做平面上的屈服轨迹。屈服准则的数学表达式可以用几何图形形象化的表示出来。在坐标系中，屈服准则都是空间曲面，叫做屈服表面。如把屈服准则表示在各种平面坐标系中，则它们都是封闭曲线，叫做屈服轨迹。两向应力状态的屈服轨迹以带入密希斯屈服准则公式即可得到两向应力状态的密希斯屈服准则上式在坐标平面上是一个椭圆，它的中心在原点，对称轴与坐标轴成450，长半轴为，短半轴为，与坐标轴的截距为。这个椭圆叫做平面上的屈服轨迹。第9页/共74页以带入屈雷斯加屈服准则公式即可得到两向应力状态的屈雷斯加屈服准则这是一个六边形，内接于密希斯椭圆。屈雷斯加六边形内接于密希斯椭圆，这就意味着，在六个角点上，两个准则是一致的。密希斯屈服准则需要较大的应力才能使材料屈服。第10页/共74页第11页/共74页5.5平面问题中屈服准则的简化

在平面问题中，一些应力分量或为零或为常数，故屈服准则的表达式可得到某些简化。对于密席斯屈服准则，其通式为

（1）或

（2）

平面应力时，，故上两式简化为式

第12页/共74页或

平面变形时，

，故式（1）（2）简化为

或

第13页/共74页第六章塑性应力应变关系（本构方程）

6.1弹性应力应变关系

6.2塑性变形时应力应变关系的特点

6.3塑性变形的增量理论(流动理论)6.4最大散逸功原理第14页/共74页

塑性变形过程中应力与应变之间的函数关系称为本构方程，也叫物理方程。塑性本构方程从本质上反映了物体发生塑性变形时的特征，这一方程和屈服准则都是求解塑性成形问题的基本方程。 对于理想塑性材料某些简单问题，通过平衡微分方程及屈服准则即可求解。但对于一般问题，可能有六个未知的应力分量，而平衡微分方程和屈服准则最多只能给出四个方程，所以为超静定问题，这时就要用到本构方程。第15页/共74页6.1弹性应力应变关系

在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达式中:E为弹性模量

G为剪切模量

v为泊松比如将它推广到一般应力状态的各向同性材料，就叫做广义虎克定律

第16页/共74页将正应变相加将正应变减去应力球张量使物体产生弹性的体积改变第17页/共74页同理可得简记为

表明：应变偏张量与应力偏张量成正比，即表明物体的形状改变只是由应力偏张量引起。第18页/共74页广义虎克定律可以写成张量的形式弹性变形时，应力与应变关系1)应力与应变成线性关系2)弹性变形是可逆的，与变形历史无关，所以应力与应变之间是单值关系。3)应力主轴和应变主轴重合

4)应力球张量使物体产生弹性体积变化，泊松比v<0.5

第19页/共74页6.2塑性变形时应力应变关系的特点 塑性变形时全量应变与应力之间的关系则完全不同：1)塑性变形可以认为体积不变，应变球张量为零，泊松比v＝0.5；

2)应力与应变之间的关系是非线性的；3)全量应变与应力的主轴不一定重合；4)塑性变形是不可恢复的，应力与应变之间没有一般的单值关系，而是与加载历史或应变路线有关。第20页/共74页对于后两个特点，举加以说明。最简单的例子就是单向拉伸。在弹性范围内，应变只取决于当时的应力。反之亦然，例如σc总是对应εc，不管σc是由σa加载而得还是由σd卸载而的。在塑性范围内，如果是理想塑性材料（见上图虚线），则同一σs可以对应任意应变；如果是硬化材料，则由σs加载σe，对应的应变为εe，如果从σf卸载到σe,对应的应变为εf’，所以不是单值关系。

第21页/共74页6.3塑性变形的增量理论（流动理论）

在塑性理论中，提出增量(流动)理论的年代要比全量理论早得多。圣维南(B．SaintVonant)早于1870年就提出应力主轴与应变增量主轴重合而不是与全量应变主轴重合的见解，并发表了自己的应力—应变速率方程(塑性流动方程)。列维（M.Levy）1871年提出了应力—应变增量关系，但当时不大为人所知。之后塑性理论经历了近四十年的停滞。直至1913年，密席斯独立提出与列维相同的方程，才广为人知，所以人们称之为列维—密席斯方程。它适用于服从密席斯屈服准则的理想刚塑性材料。增量理论又称为流动理论，是描述物体处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论，它是通过加载过程中的每一变形瞬间的应力状态来确定该瞬间的应变增量。

第22页/共74页(1)材料是理想刚塑性材料，也即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总应变增量；(2)材料符合密席斯屈服准则，即(3)塑性变形时体积不变，即(4)应力主轴和应变增量的主轴重合；(5)应变增量和应力偏张量成正比，即式中为瞬时的非负比例系数．它在变形过程是变化的，但在卸载时，上式是密席斯方程的关键性的表达式

一、列维—密席斯方程列维－密席斯的理论包含以下的假定第23页/共74页利用等比定律就可得到（*）将上式写成如下形式（**）第24页/共74页比例系数可按如下方法求得。将式（*）分成三个式子然后平方，得

将式中的三个式子平方并乘以6，得

第25页/共74页将上列六式相加，整理后可得所以

对于理想塑性材料，式中的于是式中i=j的三个式子都可按如下方式改写第26页/共74页于是

上列前三式中的1/2就是体积不变时的泊松比。（***）

密席斯方程仅适用于理想刚塑性材料，所以它只给出了应变增量和应力偏量之间关系，对应力球张量则没有限制。因此，若已知，只能求得，这是刚塑性假设的一个弱点。另一方面，对于理想塑性材料，上式中的等效应力等于常数，而实际上是不定的，所以若已知，则只能求得各分量之间的比值。而不能直接求得它们的实际数值。因此，对于理想刚塑性材料，应变增量和应力分量之间还不完全是单值关系。第27页/共74页下面利用密席斯方程来证明平面变形时的结论：塑性平面变形时，如设Z向没有变形，则有：按体积不变条件有：由此可得：

将式（***）中的前两式代入上式，有：第28页/共74页二、应力－应变速率方程（圣维南塑性流动方程）将式除以dt,可得式中，就是应变速率张量，设以表示，则上式即为式中其中为等效应变速率。卸载时上式就是应力—应变速率方程。（****）第29页/共74页应力—应变速率方程同样可写成式（****）最早由圣维南于1870年提出的，它和粘性流体的牛顿公式很相似，所以也叫塑性流动方程。密席斯方程实际上就是流动方程的增量形式，所以，如果不考虑应变速率对材料性质的影响，则两者是一致的。第30页/共74页6.4最大散逸功原理一、塑性功增量设一刚塑性单元体，棱长为dx、dy、dz，它在x方向的正应变增量为，则正应力分量所作的塑性功增量为：单位体积的塑性功增量为第31页/共74页同样，剪应力分量所作的单位塑性功增量为：其他应力分量所作的塑性功也可同样处理，由此，单元体单位体积的塑性功增量为：设变形体积为V，则整个变形体的塑性功增量为：第32页/共74页二、最大散逸功原理一种应力状态可以用主应力空间中的矢量来表示，塑性变形时，该矢量的端点一定在屈服表面上，则得到一个单位塑性功增量（1）与前述的符合同一屈服准则，但不一定与前述符合应力应变关系的应力状态是很多的。用表示这样的应力状态。将其与前述的相乘，同样可以得到一个单位塑性功增量（2）将（1）减去（2）可得

第33页/共74页对上式可作如下的表述：对于一定的应变增量场而言，在所有符合屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所作的塑性功最大。上述原理就叫最大散逸功原理。

第34页/共74页第七章真实应力—应变曲线

7.1拉伸图和条件应力－应变曲线

7.2拉伸时的真实应力－应变曲线

7.3拉伸真实应力应变曲线塑性失稳点的特

7.4真实应力应变曲线的简化形式第35页/共74页根据上两式可由拉伸图作出条件应力－应变曲线。7.1拉伸图和条件应力－应变曲线

1.拉伸图及条件应力－应变曲线下图所示为退火低碳钢的拉伸图。图的纵坐标表示载荷，横坐标表示标距的伸长。将拉伸图的纵坐标除以试样原始断面积，即得条件应力将拉伸图的横坐标除以试样标距长度，即得相对伸长第36页/共74页

低碳钢的拉伸图或条件应力－应变曲线第37页/共74页

如果取的比例适当，则条件应力－应变曲线与原来的拉伸图完全一致。所以上图既是拉伸图又是条件应力－应变曲线，只是坐标不同。其中符号说明如下第38页/共74页

根据上图条件应力——应变曲线来说明试样从开始加载到断裂过程中的力学特性。在作用于试样上的应力小于弹性极限以前，材料只产生弹性变形，只有在应力达到屈服极限时，材料才产生明显的塑性变形，在曲线的c处出现了一段所谓屈服平台。但大多数工业用塑性金属，如调质处理的合金钢，退火铝合金，青铜，镍等，则没有明显的屈服点，这时的屈服应力规定用时的应力表示。

试样在屈服点以上继续拉伸，应力随变形程度的增加而上升，直到最大拉力点b，这时的条件应力即强度极限。b点以后继续拉伸，试样断面出现局部收缩，形成所谓缩颈。此后，应力逐渐减小，曲线下降，直至k点发生断裂。第39页/共74页.试验研究表明，单向拉伸试验的初始屈服应力和单向压缩试验的初始屈服应力绝对值相等，如图所示。但当试样在一个方向加载（例如拉伸）超过屈服点到达A点后,卸载到零，然后再在反方向加载（即压缩），则发现反向加载时的屈服点s的应力不但比A点的小，而且小于初始的屈服应力。这一随加载路线和方向不同而屈服应力降低的现象，称包申格效应。

包申格效应可用缓慢退火除去。

下面介绍一下材料的另一个特性——包申格效应.试验研究表明，单向拉伸试验的初始屈服应力和单向压缩试验的初始屈服应力绝对值相等，如图所示。但当试样在一个方向加载（例如拉伸）超过屈服点到达A点后,卸载到零，然后再在反方向加载（即压缩），则发现反向加载时的屈服点s的应力不但比A点的小，而且小于初始的屈服应力。这一随加载路线和方向不同而屈服应力降低的现象，称包申格效应。

包申格效应可用缓慢退火除去。第40页/共74页7.2拉伸时的真实应力－应变曲线1.三种应变表达式用真实应力表示的应力－应变曲线，按不同的应变表示方式，可以有三种型式：真实应力和相对伸长组成的曲线、真实应力和相对断面收缩组成的曲线、真实应力和对数应变组成的曲线。真实应力S是作用于试样瞬时断面积上的应力，也即瞬时的流动应力。表示为式中P----载荷

F----试样瞬时断面积

第41页/共74页相对伸长可表示为

—拉伸后标距的长度。相对断面收缩

—试样原始断面积；—拉伸后试样的断面积。

式中—试样原始标距长度；式中第42页/共74页对数应变（真实应变）定义为

式中—瞬时的长度改变量。—试样的瞬时长度；当试样从拉伸至时，总的真实应变为

在出现缩颈以前，试样处于均匀拉伸状态，因此上述三种应变间存在以下关系（*）对数应变（真实应变）定义为

式中—瞬时的长度改变量。—试样的瞬时长度；第43页/共74页因为而所以可推出第44页/共74页2、真实应力－应变曲线的绘制在金属塑性成形理论中，较普遍的是采用对数应变表示的真实应力－应变曲线。因为对数应变反映了瞬时的变形。下面简要介绍用对数应变表示的真实应力－应变曲线的绘制方法。下图是根据条件应力－应变曲线a)作出的真实应力－应变曲线b)。条件应力－应变曲线与真实应力－应变曲线第45页/共74页求出该瞬间的真实应变。这样就可以画出曲线的段。

在屈服点c以前，两种曲线几乎没有区别。在细颈点b以前的cb段是均匀变形阶段，各点的对数应变可用公式（*）求得。但在b点以后，由于出现缩颈，不再是均匀变形，所以上述公式不再成立。为了求得b点以后的真实应变，必须记录下每一瞬间细颈处的断面积F，以求出其真实应力，然后根据关系式

第46页/共74页

可见前面求得的段的应力是断面上应力的平均值，它必然大于S。这一由于出现缩颈而产生的应力升高现象，称为“形状硬化”。在绘制这一段时，这一硬化效应必须去除。段经修正后成。于是即为所求的真实应力应变曲线。但要指出，作出的段还必须加以修正，因为由于出现缩颈，细颈处断面上已不再受均布的单向拉伸应力，而是处于不均匀的三向拉伸应力作用下。细颈边缘处受单向拉伸应力，离开边缘的部分，则逐渐受加大的三向拉伸应力，越近中心，拉伸应力越大。边缘上的拉伸应力为S,中心则达第47页/共74页

和条件应力－应变曲线相比，真实应力－应变曲线在塑性失稳点b’处没有极大值，b’点以后的曲线仍是上升的。这说明材料抵抗塑性变形的能力随应变的增加而增加，就是不断的产生硬化，所以真实应力－应变曲线有时也称硬化曲线。第48页/共74页7.3.拉伸真实应力-应变曲线塑性失稳点的特性如某一瞬间的轴向力为P，试样断面积为F，真实应力为S，则有：因为故第49页/共74页当在塑性失稳点时，P有极大值，所以dP=0即因在塑性失稳点，所以上式表示在曲线失稳点所做的切线的斜率为这样，此切线和横坐标轴的交点到失稳点横坐标间的距离必为这就是真实应力-应变曲线在塑性失稳点上所作切线的特征。第50页/共74页第51页/共74页7.4真实应力-应变曲线的简化型式

实验所得的真实应力-应变曲线一般都不是简单的函数关系。为了实际应用，常希望能将此曲线表达成某一函数形式。根据对真实应力-应变曲线的研究，可将它归成四种类型，第52页/共74页a)对于立方晶格的退火金属（如铁、铜、铝等），它的真实应力-应变曲线可相当精确的用指数方程表示。式中B---与材料有关的常数

n---硬化指数第53页/共74页b)对于有初始屈服应力的冷变形金属材料，可较好地表达为这里略去了弹性变形阶段，式中B1、m需要根据实验曲线求出。第54页/共74页c)有时为了简单，可将真实应力-应变曲线视作直线，其表达式为：这一直线是硬化曲线的简化，故称为硬化直线。第55页/共74页d)对于几乎不产生硬化的材料，可认为真实应力-应变曲线是一水平线。这时的表达式为在室温下，只有纯度极高的铅可认为不产生加工硬化。高温下的钢，也可采用这一无硬化的假设。第56页/共74页第九章塑性成形问题的主应力解法9.1主应力法的实质9.2几种金属流动类型变形公式的推导9.3拉延凸缘变形区应力分布第57页/共74页9.1主应力法的实质

塑性成形力学的基本任务之一就是确定各种成形工序所需的变形力，这是合理选择加工设备、正确设计模具和制定工艺规程所不可缺少的。由于塑性成形时，变形力是通过工具表面或毛坯的弹性变形区传递给变形金属的，所以为求变形力，需要确定变形体与工具的接触表面或变形区分界面上的应力分布。联解平衡微分方程和塑性条件，可求得变形体内的应力大小及分布，进而求得变形力。但是，这种数学解析法只在某种特殊情况下能解，而对于一般的空间问题，数学上及其困难，甚至不可解。因此，引进了各种简化假设，以使平衡方程和塑性条件得到简化，在此基础上建立起来的计算方法，称为主应力法。第58页/共74页这样我们可以直接沿变形体整个高度截取基元体，并对其求静力平衡.则得

主应力法的实质是平衡方程与塑性条件联解，但为了计算简化，采用了下述基本假设：

1.把问题简化成平面问题或轴对称问题。对于形状复杂的变形体，则根据金属流动的情况，将其划分成若干部分，每一部分分别按平面问题或轴对称问题处理，最后“拼合”在一起，即得到整个问题的求解。

2.假设变形体内的法向应力分布与一个坐标轴无关，结果使平衡微分方程缩减至一个，而且可将偏微分方程改为常微分方程。例如：对于平面应变镦粗，法向应力与一个坐标轴无关的假设，就表示法向应力沿变形体高度均匀分布，

第59页/共74页目前所说的主应力法大都就是这样处理的，并形象化地称为切块法或板块法。第60页/共74页3.在对基元体或基元板块列塑性条件时，通常假设其上的正应力为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响。这样就使塑性条件简化为线性方程。例如平面应变问题的塑性条件(屈服准则)4.将上述的近似平衡微分方程与塑性条件联解，以求接触面上的应力分布，这就是主应力法。变成第61页/共74页9.2几种金属流动类型变形公式的推导一、平面应变的横向流动（镦粗型）变形力公式的推导右图表示平行砧板间的平面应变镦粗，第62页/共74页利用边界条件确定积分常数C:第63页/共74页1.轴对称状态的一些知识特点：在塑性成形中经常遇到旋转体。当旋转体承受的外力为对称于旋转轴的分布力而且没有周向力时，则物体内的质点就处于轴对称应力状态。由于变形体是旋转体，所以采用圆柱坐标。