常系数齐次微分方程求解_第1页
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文档简介

会计学1常系数齐次微分方程求解一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程第1页/共20页二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解

由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解

第2页/共20页有两个不相等的实根特征根为两个线性无关的特解得齐次方程的通解为1.当第3页/共20页2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为第4页/共20页3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:

利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为第5页/共20页小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.第6页/共20页若特征方程含k

重复根若特征方程含k

重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:第7页/共20页例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第8页/共20页例3.解:由第七节例1(P293)

知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为自由振动方程,第9页/共20页方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况(

n=0)第10页/共20页解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)第11页/共20页方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况

大阻尼:n>k临界阻尼:n=k第12页/共20页(n<k)

小阻尼自由振动解的特征:

由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t

的增大物体趋于平衡位置.第13页/共20页(n>k)

大阻尼解的特征:

1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t

的增大物体总趋于平衡位置.第14页/共20页(n=k)

临界阻尼解的特征:

任意常数由初始条件定,最多只与t

轴交于一点;即随时间t

的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;第15页/共20页例4.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解第16页/共20页例6.

解:

特征方程:即其根为方程通解:第17页/共20页例7.解:

特征方程:特征根为则方程通解:第18页/共20页

作业：P-3

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