初等数论简介实用

会计学1初等数论简介实用整除理论是初等数论的基础；同余理论是初等数论的核心；不定方程是推进数论发展的最主要的课题；初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。第1页/共25页自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。二、数论的发展史第2页/共25页近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：

“数学是科学之王，数论是数学之王”第3页/共25页由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。第4页/共25页三、几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。第5页/共25页1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：

一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。1、哥德巴赫猜想：第6页/共25页2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。经过8年的努力，英国数学家安德鲁·怀尔斯终于在1995年完成了该定理的证明。第7页/共25页3、孪生素数问题存在无穷多个素数p,使得p+2也是素数。究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是1849年法国数学AlphonsedePolignac提出猜想：对于任何偶数2k,存在无穷多组以2k为间隔的素数。对于k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把AlphonsedePolignac作为孪生素数猜想的提出者。不同的k对应的素数对的命名也很有趣，k=1我们已经知道叫做孪生素数；k=2(即间隔为4)的素数对被称为cousinprime；而k=3(即间隔为6)的素数对竟然被称为sexyprime(不过别想歪了，之所以称为sexyprime其实是因为sex正好是拉丁文中的6。)第8页/共25页4、最完美的数——完全数问题下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14.

接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.第9页/共25页1、算经十书

唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书．算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作．北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书．（此时《缀术》已经失传，实际刊刻的只有九种）。四、我国古代数学的伟大成就第10页/共25页四、我国古代数学的伟大成就公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。1、周髀算经2、孙子算经约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。第11页/共25页具有重大意义的是卷下第26题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？《孙子算经》不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。1852年，英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》中物不知数问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国剩余定理”

。第12页/共25页周髀算经孙子算经第13页/共25页五、学习数论的意义本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系,使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。第14页/共25页数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际意义。由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。电子通信密码学第15页/共25页六、主要参考书1.《数论导引》华罗庚

科学出版社19572.《初等数论》潘承洞、潘承彪北京大学出版社20033.《数论讲义》柯召孙琦高教出版社20054.《初等数论100例》柯召孙琦哈工大出版社20115.《初等数论及其应用》（美）KennethH.Rosen

机械工业出版社2009第16页/共25页欧几里得[前330年～前275年]欧氏几何学的开创者，古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世。丢番图Diophante246～330“代数学之父”古希腊数学家，著《算术》第17页/共25页刘徽，生于公元250年左右，三国时期数学家，是世界上最早提出十进小数概念的人，著《九章算术注》10卷；《海岛算经》；《九章重差图》.割圆术求圆面积和圆周率.祖冲之，429─500，数学家，科学家，算出π在3.1415926和3.1415927之间，求球体积公式著有《缀术》.天文历法和机械方面的成就〔略〕。第18页/共25页宋元数学四大家秦九韶[约1202～1261]，著《数书九章》,最重要的数学成就——“大衍总数术”[一次同余组解法]与“正负开方术”[高次方程数值解法]，在中世纪世界数学史上占有突出地位。李冶1192～1279,著《测圆海镜》，主要目的就是说明用开元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似。朱世杰[1300前后]，著《算学启蒙》和《四元玉鉴》。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”[多元高次方程列式与消元解法]、“垛积法”[高阶等差数列求和]与“招差术”[高次内插法]。杨辉[1250前后]，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著《详解九章算法》,《日用算法》等。第19页/共25页费马[法]1601-1665，是数学史上最伟大的业余数学家，提出了费马大、小定理；在坐标几何，无穷小，概率论等方面有巨大贡献。哥德巴赫1690-1764，德国数学家；曾担任中学教师，1725年到俄国，被选为彼得堡科学院院士.第20页/共25页欧拉1707－1783，瑞士数学家，自然科学家。是数学史上最多产的数学家，每年写出八百多页的论文，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。高斯1777—1855，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。第21页/共25页勒让德[法]1752～1833，在分析学、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，是椭圆积分理论奠基人之一。对数论的主要贡献是二次互反律，还是解析数论的先驱者之一.雅可比[德]1804～1851，在偏微分方程中，引进了“雅可比行列式。对行列式理论作了奠基性的工作，在代数学、变分法、复变函数论、分析力学、动力学及数学物理方面也有贡献。第22页/共25页希尔伯特[德]1862～1943，他领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。著《数论报告》、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》.华罗庚1910—1985，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方