《定积分的简单应用》

会计学1《定积分的简单应用》教学目标：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．第1页/共32页1、定积分的几何意义（1）当f(x)≥0时，表示的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积。（2）当f(x)＜0时，y=f(x)与x=a,y=b和x轴所围曲边梯形的面积为2、微积分基本定理内容一、复习回顾第2页/共32页如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？二、新课引入第3页/共32页第4页/共32页三、新课讲解解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．第5页/共32页[例1]

求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路点拨]

画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．考点一：求平面图形的面积第6页/共32页第7页/共32页第8页/共32页[一点通]

求由曲线围成图形面积的一般步骤：①根据题意画出图形；②求交点，确定积分上、下限；③确定被积函数；④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．第9页/共32页答案：D第10页/共32页2．求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S.第11页/共32页3、求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．

[思路点拨]作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．第12页/共32页第13页/共32页第14页/共32页[一点通]分割型图形面积的求解：（1）通过解方程组求出曲线的交点坐标（2）将积分区间进行分段（3）对各个区间分别求面积进而求和（被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数）第15页/共32页4．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图

形的面积．第16页/共32页第17页/共32页第18页/共32页第19页/共32页解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．第20页/共32页[例2]有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．（二）求变速直线运动的路程、位移第21页/共32页[解析]

(1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程第22页/共32页第23页/共32页[点评]路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下：第24页/共32页[例3]一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．（三）求变力做功第25页/共32页第26页/共32页[点评]本题常见的错误是在计算所做的功时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.第27页/共32页6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为（)[答案]

C第28页/共32页7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为 (

)A．0.18J

B．0.26J

C．0.12J

D．0.28J[答案]

A[解析]

设F(x)＝kx，则拉力1N