P机械转子陀螺仪二自由

会计学1P机械转子陀螺仪二自由二自由度陀螺仪进动性：演示进动性(Proceeding)转子没有旋转时，给陀螺悬挂重物

录像：转子高速旋转的陀螺悬挂重物

第1页/共34页进动的规律录像：沿着陀螺仪外框架轴施加力矩进动性：陀螺仪受到外力矩时，转子自转轴的转动方向与外力矩方向相垂直的现象进动、进动角速度

第2页/共34页用动量矩定理解释进动：近似推导动量矩定理

H的近似表示：动量矩定理

+苛氏定律

此即二自由度陀螺仪的进动方程

第3页/共34页进动角速度的方向和大小进动角速度的方向：最短路径法则（H沿最短路径趋向M）进动角速度的大小：根据

M=ω×H，写成标量形式：

M=ω·H·sinθ

因此

ω=M/（H·sinθ）进动角速度大小与外力矩的大小成正比，与转子的动量矩的大小成反比。第4页/共34页陀螺动力效应：陀螺力矩外加力矩

陀螺力矩(GyroTorque)：反作用力矩

陀螺力矩的方向判断陀螺力矩的作用对象

第5页/共34页陀螺动力（稳定）效应，对外框架有效第6页/共34页陀螺动力（稳定）效应，对内框架无效第7页/共34页定轴性：不通电时转动基座录像(61s)：陀螺不通电时，转动基座第8页/共34页定轴性：通电后转动基座录像(35s)：通电后，转动基座第9页/共34页定轴性：不通电时敲打框架录像(26s)

：不通电时，敲打框架

第10页/共34页定轴性：通电后敲打框架录像(35s)

：通电后，敲打框架第11页/共34页定轴性总结；漂移、章动二自由度陀螺仪的定轴性二自由度陀螺仪具有抵抗干扰力矩，力图保持其自转轴相对惯性空间方位不变的特性（定轴性、或稳定性）。

定轴性的相对性(一)：陀螺漂移

ωd=Md/H

定轴性的相对性(二)：章动(Nutation)现象陀螺受冲击力矩时，自转轴将在原来的空间方位附近作锥形振荡运动

第12页/共34页章动录像录像（20s）：二自由度陀螺的章动(nutation)现象第13页/共34页二自由度陀螺运动方程：初步分析从定性到定量：引入坐标系

外、内框架和转子坐标系任务：描述当沿着内外框架轴施加力矩时，陀螺框架角α、β的变化规律方法：动量矩定理+苛氏定律

第14页/共34页二自由度陀螺运动方程：矢量表示转子的绝对角速度：分解表示内框架坐标系的牵连角速度：转子相对内框架的角速度：转子的绝对角速度：转子的动量矩：第15页/共34页二自由度陀螺运动方程：推导根据动量矩定理和苛氏定律

其中

第16页/共34页二自由度陀螺运动方程：合并简化对每个坐标分量，分别写出方程

以上称变态欧拉动力学方程实际的陀螺中，一般赤道转动惯量Jx=Jy，由第三式可得

陀螺稳态工作时，Mz=0，因此

对前两式，忽略角速度高阶小量，得到简化方程

关于框架角速度和外加力矩的方向

第17页/共34页二自由度陀螺运动方程：角速度投影两种角速度的关系

内框架坐标系xyz的ω等于两个欧拉角速度的矢量和

根据投影

代入简化方程，得到

求导式展开，忽略高阶小量，得到

第18页/共34页二自由度陀螺运动方程：力矩投影力矩的变换代入上式，得到

实际β角很小，上式简化成

上式称为陀螺仪的技术方程。技术方程的物理意义（惯性力矩和进动力矩）

第19页/共34页二自由度陀螺系统模型：拉氏变换二自由度陀螺仪的技术方程

拉氏变换整理当初始条件都为零，得到第20页/共34页二自由度陀螺系统模型：系统方块图拉氏变换方程改写方程，画出系统方块图每个力矩都同时引起陀螺仪的两种运动，陀螺力矩起耦合作用第21页/共34页二自由度陀螺系统模型：传递函数由拉氏变换方程求解两个框架角α、β，得到

由此可以得到从Mx1、My分别到α和β的四个传递函数

改写分母项固有振荡频率第22页/共34页二自由度陀螺脉冲响应：输入输出冲击力矩的数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，对时间的积分是一个有限值

代入系统的拉氏变换模型：

求解α(s)和β(s)，得到

其中第23页/共34页二自由度陀螺脉冲响应：响应轨迹假设Jx=Jy=Je，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，部分分式展开，反拉氏变换得：

可见，力矩Mx1引起转子轴同时绕内外两个框架作等幅振荡，相位相差90度。消去时间变量，得轨迹方程

轨迹圆，半径…圆心…频率…

第24页/共34页二自由度陀螺脉冲响应：计算例子例子：设Jx=Jy=Je=1.38克·厘米·秒2，

H=5160克·厘米·秒，

Mx1=36200克·厘米×10-5

秒（注：克=克重，相当于每克物体的重量）

章动的幅度（半径）角分章动的特点：高频、微幅

第25页/共34页二自由度陀螺阶跃响应：输入输出如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示：陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为：

第26页/共34页设Jx=Jy=Je，并令ω02=H/(Jx·Jy)反拉氏变换，得时域响应：

二自由度陀螺阶跃响应：时域响应动态响应：章动稳态响应：进动和等效弹簧效应第27页/共34页二自由度陀螺阶跃响应：轨迹对前式移项后两边平方相加，得到转子轴的轨迹方程

旋轮线：圆周运动（章动）和平移运动（进动）的合成。解释：圆周运动线速度：圆心移动速度：两种运动合成的结果：车轮无摩擦滚动——旋轮线其中进动起主导作用

第28页/共34页二自由度陀螺阶跃响应：计算例子例题：My=1克·厘米；H=10000克·厘米·秒；Jx=Jy=Je=4克·厘米·秒2；常值干扰力矩作用时间t=60秒。

陀螺漂移率漂移的角度章动振幅章动频率常值干扰力矩的产生原因及影响第29页/共34页二自由度陀螺正弦响应：输入输出如果外加力矩方向不断改变，大致可以用简谐函数描述

初始条件都为零时，陀螺频域输出响应为：

令ω02=H2/(Jx·Jy)，并部分分式展开及反拉氏变换，得第30页/共34页二自由度陀螺正弦响应：时域响应章动项强迫简谐振动项常值项设ωa《ωo

，Jx=Jy=Je，则上述响应式可以简化成：第31页/共34页二自由度陀螺正弦响应：轨迹可见Mx1使转子轴同时绕内外框架轴做受迫振荡。消去时