g 在最优化问题中的比较静态分析

会计学1g在最优化问题中的比较静态分析第1节引言在最优化问题中，最优解为参数的函数，在经济模型中，参数常常是外生变量而最优解为内生变量，在最优化问题相关联的比较静态分析中我们感兴趣的是：一，当某一个参数或者外生变量变化时，最优解或者均衡值如何发生变动？二，当某一个参数变动时，目标函数的最优值如何变动？本章在无约束最优化和有约束最优化框架下对其进行探讨第1页/共51页第2节无约束最优化

为最优（最大或者最小）值函数定理：包络定理I

变动对产生影响的两种途径：（i）直接影响，由于是的一个元素而包含在中，（ii）间接影响，通过包络定理：第2页/共51页证明：而由最优化一阶条件可知那么第3页/共51页例厂商利润函数最优点

最大值函数第4页/共51页

对其关于求导

而利用包络定理

第5页/共51页第3节有约束最优化有约束最优化问题拉格朗日函数最优解最优值函数第6页/共51页

包络定理II

其中和为拉格朗日函数的临界点证明将最优点代入拉格朗日函数由于最优解满足约束条件从而以及求导可得第7页/共51页

由一阶条件可知另外从而得证第8页/共51页作为影子价格的拉格朗日乘子故告诉我们的是参数增加一单位对目标函数最优值所产生的影响，经济学上将其称作该参数的影子价格。第9页/共51页第4节斯拉斯基方程消费者面临的效用最大化问题

拉格朗日函数一阶条件马歇尔需求函数第10页/共51页

拉格朗日乘子对一阶条件关于求导第11页/共51页

用矩阵表示为也即为加边海赛矩阵第12页/共51页

由克拉默法则可得若对一阶条件等式两边取微分，则

整理可得第13页/共51页

1、变化而和保持不变

利用克拉默法则求

第14页/共51页

从而这就是斯拉斯基方程，第一部分为“替代效应”而第二部分为“收入效应”2、收入效应价格不变而收入变动第15页/共51页

利用克拉默法则那么3、替代效应收入随价格变化而变化使得消费者的效用水平保持不变或者第16页/共51页

有一阶条件可知，均衡时那么或者前面已知则外生变量的变化必须使得第17页/共51页

只有商品1价格变化时，有由克拉默法则则就有第18页/共51页对于上述第一个结果的解释(x*/Px)表明Px的变化如何影响x的最优购买数量T1=-(x*/B)x*,看起来它似乎是Y变化对最优购买量x*的影响的度量,且x*本身充当加权因子,但显然这就使导数与价格变化相关,于是,必须将它解释成价格变化的收入效应!当Px上升时,消费者实际收入的下降将会对x*产生类似于Y实际下降而产生的影响,所以用-(x*/B)表示可以理解,商品x在预算中的地位越突出,收入效应将越大,因此在T1中出现加权因子x*另一方面的解释:微分dY=-x*dPx使得

表明T1是dPx通过B对x*影响的度量,即收入效应的量度.第19页/共51页如果以数量上等于dB的现金支付来补偿消费者的实际收入减少,那么,由于收入效应的抵消作用,T2将度量完全由于价格变化引致的一种商品对另一种商品的替代而出现的x*变化,即T2度量替代效应!回到最初由一阶条件得到的方程组,当仅研究dPx的影响时(dPy=dB=0),其第一个方程可以写成-Pxdx*-Pydy*=x*dPx.对消费者进行补偿,就要令该式为0,所以前述矩阵方程中的常数向量中x*=0第20页/共51页价格与收入成比例的变化考察当所有三个参数Px,Py和B按同一比例变化时x*,y*受到什么影响预算约束变为:效用函数与参数无关,消费者均衡状态不受价格与收入等比变化的影响,即消费者没有任何货币幻觉!用方程表示上述情况:第21页/共51页练习假设U=(x+2)(y+1)写出拉格朗日函数求x*,y*,*(以参数Px,Py,B表示)检验极大值的二阶充分条件令Px=4,Py=6及B=130,求各最优值上述最优解(x*,y*)能产生比较静态信息吗,求出所有比较静态导数,确定其符号,并解释其经济意义.第22页/共51页替代效应和收入效应的正负符号替代效应

由二阶条件可知，而由一阶条件可知第23页/共51页

在非饱和假定下从而收入效应，，但可正可负，分三种情况分析第24页/共51页替代效应第25页/共51页情形1：正常物品此时，，从而情形2：低档物品此时，，从而情形3：吉芬物品此时，，从而第26页/共51页正常物品第27页/共51页低档物品第28页/共51页吉芬物品第29页/共51页第5节包络定理在经济学中的应用马歇尔需求函数间接效用函数定理：罗伊等式如果为马歇尔需求函数，那么证明效用最大化问题的拉格朗日函数为第30页/共51页

由包络定理可知两式相除即可得欲证结论支出最小化问题所得最优点为希克斯需求函数，代入目标函数所得最小值函数为支出函数第31页/共51页

例拉格朗日函数为一阶条件最优点（希克斯需求函数）第32页/共51页

代入目标函数可得支出函数谢泼德引理令为商品的希克斯需求函数，则证明支出最小化问题的拉格朗日函数为第33页/共51页

由包络定理可得

例支出函数为，求希克斯需求函数由谢泼德引理可知与上例吻合第34页/共51页一致性例间接效用函数为第35页/共51页一致性第36页/共51页

求支出函数由一致性可知

解之得其为欲求的支出函数。

第37页/共51页斯拉斯基方程再讨论由一致性可知令，则对其求导可得而根据谢泼德引理第38页/共51页

则

或者成本最小化问题

所得最优点为厂商的条件需求函数，代入目标函数所得最小值函数则为厂商的成本函数第39页/共51页谢泼德引理

令为厂商投入品的条件需求函数而为厂商的成本函数，有证明成本最小化问题的拉格朗日函数为由包络定理可知第40页/共51页例

成本最小化问题拉格朗日函数一阶条件第41页/共51页

最优点成本函数第42页/共51页

成本函数关于要素价格求导并加以整理可得利润最大化问题最优点这被称作厂商的供给函数，代入目标函数可得利润函数第43页/共51页定理：霍特林引理令为竞争性厂商的供给函数，为厂商对投入品的需求函数而为厂商的总利润函数。有

证明利润最大化问题第44页/共51页

拉格朗日函数好由包络定理可得例竞争性厂商成本函数为令，则总利润函数为第45页/共51页

一阶条件供给函数总利润函数第46页/共51页总利润函数关于产量和要素价格求导，整理可得第47页/共51页一个例证考虑一个效用函数为U=xy的消费者,预算约束为B,给定商品价格为Px,Py,选择问题:MaxU=xys.t.Pxx+Pyy=B.拉格朗日函数为:Z=xy+(B-Pxx-Pyy)一阶条件为:Zx=y-Px=0,Zx=x-Py=0,Z=B-Pxx-Pyy=0求解一阶条件:xm=B/2Px,ym=B/2Py,m=B/2PxPy把上述解代入效用函数,从问题中推导出间接效用函数:V(Px,Py,B)=U*=(B/2Px)(B/2Py)=B2/4PxPy调整后得到B=(4PxPyU*)1/2=2Px1/2Py1/2U*1/2消费者的对偶问题支出最小化问题中最小支出函数E应该等于基本问题中给定的预算B,于是立即得到:E(Px,Py,U*)=B=2Px1/2Py1/2U*1/2第48页/共51页关于罗伊恒等式的证明:第49页/共51页考虑给定前例中的效用水平而得到的对偶问题:成本最小化问题.U*表示目标效用水平,那么问题为:MinPx