2023年四川省眉山市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年四川省眉山市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为()．

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

2.

3.

4.

5.设平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0则平面π1与π2的位置关系是A.A.相交且垂直B.相交但不垂直C.平行但不重合D.重合

6.

7.

8.设函数f(x)=2lnx+ex,则f'(2)等于

A.eB.1C.1+e2

D.ln29.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

10.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

11.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为（）．A.A.

B.

C.

D.不能确定

12.

13.A.dx+dy

B.

C.

D.2(dx+dy)

14.设y＝sin2x，则y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x

15.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为

A.2B.-2C.3D.-3

16.

17.

A.-e

B.-e-1

C.e-1

D.e

18.A.A.2

B.

C.1

D.－2

19.f(x)是可积的偶函数，则是()。A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.可奇可偶

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____。

25.

26.

27.设f(x＋1)=4x2＋3x＋1，g(x)=f(e-x)，则g(x)=__________．

28.

=_________．

29.

30.

31.设函数z=x2ey，则全微分dz=______.

32.设y=3x，则y"=_________。33.

34.

35.

36.

37.设，则y'=______。38.39.

40.微分方程y'+4y=0的通解为_________。

三、计算题(20题)41.42.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．43.证明：44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

45.

46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

48.

49.50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则51.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．52.

53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．54.求微分方程的通解．

55.

56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.求曲线在点(1，3)处的切线方程．60.四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.(本题满分10分)求由曲线y＝3－x2与y＝2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转－周所成旋转体的体积．

66.求微分方程的通解．67.

68.

69.70.计算五、高等数学(0题)71.

_________当a=__________时f(x)在(一∞，+∞)内连续。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A设所求平面方程为．由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组

故选A．

2.C

3.D

4.B解析：

5.A平面π1的法线向量n1=(2，1，4)，平面π2的法线向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0。可知两平面垂直，因此选A。

6.B

7.D

8.C本题考查了函数在一点的导数的知识点.

因f(x)=2lnx+ex,于是f'(x)=2/x+ex,故f'(2)=1+e2.

9.B本题考查了一阶线性齐次方程的知识点。

因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此为常系数一阶线性齐次方程,其特征根为r=2,所以其通解为y=Ce2x,又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.

注:方程y'=2y求解时也可用变量分离.

10.B

11.B本题考查的知识点为定积分的几何意义．

由定积分的几何意义可知应选B．

常见的错误是选C．如果画个草图，则可以避免这类错误．

12.A

13.C

14.D本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则．

15.C解析：

16.B

17.C所给问题为反常积分问题，由定义可知

因此选C．

18.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

19.Bf(x)是可积的偶函数；设令t=-u,是奇函数。

20.A解析：

21.

22.22解析：

23.dx

24.

25.y=2x+1

26.

27.

28.。

29.

30.(1+x)2

31.dz=2xeydx+x2eydy32.3e3x

33.本题考查了函数的一阶导数的知识点。

34.π/4

35.x/1=y/2=z/-136.

37.本题考查的知识点为导数的运算。38.本题考查的知识点为无穷小的性质。

39.

40.y=Ce-4x

41.

42.函数的定义域为

注意

43.

44.

45.

46.

列表：

说明

47.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.

50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.

则

53.由二重积分物理意义知

54.

55.

56.

57.

58.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

60.

61.

62.解

63.64.本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．

积分区域D如图2—1所示．

解法1利用极坐标系．

D可以表示为

解法2利用直角坐标系．

如果利用直角坐标计算，区域D的边界曲线关于x，y地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点．注意

可以看出，两种积分次序下的二次积分都可以进行计算，但是若先对x积分，后对y积分，将简便些．

本题中考生出现的较普遍的错误为，利用极坐标将二重积分化为二次积分：

右端被积函数中丢掉了r，这是考生应该注意的问题．通常若区域可以表示为

65.本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积．

所给曲线围成的平面图形如图1－2所示．

解法1利用定积分求平面图形的面积。

解法2利用二重积分求平面图形面积．

求旋转体体积与解法1同．

注本题也可以利用二重积分求平面图形的面积．66.所给方程为一阶线性微分方程

其通解为

本题考杏的知识点为求解一阶线性微分方程．

67.

68.69.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分．

这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得

得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)．

本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示－个数值”的性质．

这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中．

70