D微分方程及其求解

会计学1D微分方程及其求解解的叠加原理第1页/共33页一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m

次多项式.第2页/共33页(2)若是特征方程的单根,(3)若是特征方程的重根,即即(1)若不是特征方程的根,可设可设可设第3页/共33页上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).综上讨论不是根是单根是重根特解形式设为第4页/共33页例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为第5页/共33页例2.的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为代入方程得第6页/共33页例2.的通解.

解:比较系数,得因此特解为所求通解为代入方程得第7页/共33页令的特解y*(一般为复根)求可以证明与分别是下列方程的解设第8页/共33页综上讨论(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根第9页/共33页解例3的一个特解

.有共轭复根特征方程本题不是特征根的特解令特解第10页/共33页解例3的一个特解

.将特解代入原方程得第11页/共33页例3的一个特解

.于是求得一个特解原方程得一个特解第12页/共33页解例4的通解

.对应齐次方程特征方程为特征根:对应齐次方程的通解：第13页/共33页解例4的通解

.齐次通解：特征方程是特征方程的根本题故设特解为考虑方程第14页/共33页解例4的通解

.代入方程整理得于是求得一个特解原方程通解为第15页/共33页一、一阶微分方程求解

1.一阶标准类型方程求解关键:

辨别方程类型,掌握求解步骤四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,*全微分方程小结第16页/共33页1.可降阶的二阶微分方程二、高阶微分方程求解逐次积分解法:高阶

yf(x)型的微分方程第17页/共33页

yf(x

y)型的微分方程解法:令化为x,p的一阶微分方程.则

yf(y

y)型的微分方程解法:令化为y,p的一阶微分方程.则第18页/共33页二阶线性微分方程的通解的结构齐次方程的通解的结构如果函数y1(x)与y2(x)是方程

y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数第19页/共33页2.二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数代入①得称②为微分方程①的特征方程,(r

为待定常数)①所以令①的解为②其根称为特征根.因为r为常数时,函数(p,q为常数)第20页/共33页实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程方法步骤①写出特征方程②求出特征根③按特征根的三种不同情况依下表写出通解第21页/共33页3.二阶线性微分方程的通解的结构设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解

Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解

非齐次方程的通解的结构第22页/共33页微分方程ypyqyPm(x)ex

的待定特解不是根是单根是重根特解形式设为第23页/共33页(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根微分方程ypyqyeαxPm(x)cosβx或ypyqyeαxPm(x)sinβx的待定特解整合为第24页/共33页则是特解形式设为整合为的解是的解第25页/共33页思考题1.微分方程(λ>0)的特解形式为2.微分方程满足条件y(0)=0的解2011年考研题第26页/共33页设的特解为设的特解为则所求特解为思考题3.写出微分方程的待定特解的形式.解第27页/共33页则所求特解为练习题3.写出微分方程的待定特解的形式.解特征根（重根）第28页/共33页4.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(