D泰勒高等数学同济大学第六上册

会计学1D泰勒高等数学同济大学第六上册1.求

n

次近似多项式要求:故机动目录上页下页返回结束令则第1页/共29页2.余项估计令(称为余项),则有机动目录上页下页返回结束第2页/共29页机动目录上页下页返回结束第3页/共29页公式①称为的n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰勒目录上页下页返回结束第4页/共29页公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项

.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*

可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束第5页/共29页特例:(1)当n=0

时,泰勒公式变为(2)当n=1

时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差机动目录上页下页返回结束第6页/共29页称为麦克劳林（Maclaurin

）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林目录上页下页返回结束由此得近似公式第7页/共29页二、几个初等函数的麦克劳林公式其中机动目录上页下页返回结束第8页/共29页其中机动目录上页下页返回结束第9页/共29页类似可得其中机动目录上页下页返回结束第10页/共29页其中机动目录上页下页返回结束第11页/共29页已知其中类似可得机动目录上页下页返回结束第12页/共29页三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M

为在包含0,x

的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数

n

和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数

n和误差限,确定公式中x

的适用范围.机动目录上页下页返回结束第13页/共29页已知例1.

计算无理数e

的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9

时上式成立,因此的麦克劳林公式为机动目录上页下页返回结束第14页/共29页说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.机动目录上页下页返回结束第15页/共29页例2.

用近似公式计算cosx

的近似值,使其精确到0.005,试确定x

的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.机动目录上页下页返回结束第16页/共29页2.利用泰勒公式求极限例3.

求解:由于用洛必塔法则不方便

!用泰勒公式将分子展到项,机动目录上页下页返回结束第17页/共29页3.利用泰勒公式证明不等式例4.

证明证:机动目录上页下页返回结束第18页/共29页内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.机动目录上页下页返回结束第19页/共29页2.常用函数的麦克劳林公式

(P140~P142)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,例如目录上页下页返回结束第20页/共29页42246420246泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束第21页/共29页42246420246泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束第22页/共29页思考与练习

计算解:原式第四节目录上页下页返回结束作业P1431;4;5;7;8;10(1),(2)第23页/共29页泰勒

(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.第24页/共29页麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.第25页/共29页由题设对证:备用题

1.有且机动目录上页下页返回结束第26页/共29页下式减上式,得令机动目录上页下页返回结束第27页/共29页两边同乘n!=整数+假设e

为有理数(p,q

为正整数),