D格林公式白底

会计学1D格林公式白底证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-

型区域,且则第1页/共30页即同理可证①②①、②两式相加得:第2页/共30页2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕第3页/共30页推论:

正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积第4页/共30页例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:

令则利用格林公式,得第5页/共30页例2.

计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:

令,则利用格林公式,有第6页/共30页例3.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知第7页/共30页在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和

lˉ

所围的区域为林公式,得第8页/共30页二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即第9页/共30页说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))第10页/共30页证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数第11页/共30页证明

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有第12页/共30页证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕第13页/共30页说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;第14页/共30页例4.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则第15页/共30页例5.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。第16页/共30页例6.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2

可知存在原函数第17页/共30页或第18页/共30页例7.

设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.第19页/共30页思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!第20页/共30页解因此，积分与路径无关。则P，Q

在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。第21页/共30页取一简单路径：L1+L2.因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。第22页/共30页解因此，积分与路径无关。则P，Q

在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。第23页/共30页因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。取一简单路径：L1+L2.第24页/共30页内容小结1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在D

内具有一阶连续偏导数,则有第25页/共30页思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:第26页/共30页2.设提示:第27页/共30页

备用题1.

设

C

为沿从点依逆时针的半圆,计算解:

添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点第28页/共30页2.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解: