D习题课基础班

会计学1D习题课基础班2二、极限一、函数三、连续与间断第一章函数与极限—研究对象—研究方法—研究桥梁第1页/共49页31.函数定义：设x和y是两个变量，法则f，总有确定的数值y和它对应，记作:因变量自变量函数值.函数值的全体组成的集合称为函数的值域.如果对于每一个给定的则称y是x的函数，称为函数在点处的一、函数图形:(一般为曲线)通过定义域(非空数集)第2页/共49页42.函数定义的两要素：定义域和对应法则3.两个函数相同的条件：(1)定义域同，(2)对应法则同不同不同相同不同

定义域:

对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题有意义的自变量集合.第3页/共49页54.定义域的求法：(1)分式函数：分母不等于零的自变量的值.(2)开偶次方：(3)对数函数：(4)反三角函数：(5)多个函数的代数和的定义域：是其各自定义域的交集.

使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的(自然)定义域.第4页/共49页65.函数的四种特性(1)函数的有界性:说明：1.界不唯一,不一定找最小的界.2.函数的有界性是局部概念.使称为有界函数.一般的3.还可定义有上界、有下界.有界的充分必要条件是既有上界又有下界.第5页/共49页7(2)

单调性称为I

上的单调增函数;称为I

上的单调减函数;注意:(1)这里是严格单调.(2)单调性是局部概念.第6页/共49页8(3)函数的奇偶性:设D关于原点对称，对于有则称f(x)为偶函数.有则称f(x)为奇函数.注意：(1)定义域关于原点对称,奇偶性是整体概念.(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形关于y轴对称.不是是(3)奇偶函数的定义域不一定是R.(4)若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有第7页/共49页9(4)周期性则称为周期函数

,若称

l

为周期.例如,

常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数说明：10周期函数的定义域是无限的点集.20周期函数不一定存在最小正周期.结论：设函数第8页/共49页106.反函数(1)定义(2)性质其反函数(减)(减).1)y=f(x)单调递增且也单调递增2)函数与其反函数的图形关于直线对称.(注意：对单值函数而言的)第9页/共49页117.复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合第10页/共49页12(1)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数:由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.均为初等函数.8.初等函数第11页/共49页13非初等函数举例:(2)取整函数:注意：分段函数一般不是初等函数.(1)符号函数:-4-3-2-112341234-1-2-3-4oxy第12页/共49页14函数的分类:初等函数非初等函数(大部分分段函数,有无穷多项的函数)代数函数超越函数(解析式中含反，对，指，三的函数)有理函数无理函数(解析式中含有根式的函数)有理整函数(多项式函数)有理分式函数(分式函数)函数第13页/共49页15例1.

设函数求解:

x

换为f(x)oxy114第14页/共49页16例2..下列各种关系式表示的y

是否为x

的函数?为什么?不是是不是提示:(2)第15页/共49页17解:例3.及其定义域.由得例4.

已知,求解:第16页/共49页181.定义：(1)数列极限的精确性定义：使时，恒有使当时，恒有二、极限使当时，恒有(4)左极限,右极限：使当时，恒有使当时，恒有第17页/共49页19(5)极限定义的等价形式

有第18页/共49页203.无穷小(1)无穷小的性质;～～～～～～～(2)常用等价无穷小:

当时2.函数极限的性质：惟一性；局部有界性；局部保号性；归并性.第19页/共49页21(3)无穷小的比较:设是同一过程中的两个无穷小，且

如果1记作：2

如果3特别地,若C=1时,记作：

如果4第20页/共49页224.两个重要极限:

5.求极限的法则:(1)极限的四则运算法则定理：如果则(1)(2)(3)其中(2)数列极限的单调有界准则，夹逼准则(3)复合函数的求极限法则（变量代换法）存在+存在=存在存在+不存在=不存在不存在+不存在=不一定存在第21页/共49页23求极限的方法1.利用四则法则;2.恒等变形法;3.利用无穷小的性质;4.利用两个重要极限;5.利用函数的连续性;1.型:型:2.4.变量替换约去零因式3.：通分等价无穷小代换.分子分母有理化,6.利用极限存在的充要条件;6.求极限的基本方法:

抓大头7.利用夹逼准则.第22页/共49页24例1.

求下列极限：解:

无穷小有界令第23页/共49页25则有复习:

若第24页/共49页26(4)

求解:原式=1(2000考研)第25页/共49页27几个常用极限与几个极限不存在的例子第26页/共49页28(5)求解:第27页/共49页29错在哪里？则有复习:

若则有复习:

若第28页/共49页30解:经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它点处的极限不需求左右极限.第29页/共49页31例2.

确定常数a,b,

使解:原式第30页/共49页32解:第31页/共49页33例4.

当时,是的几阶无穷小?解:

设其为的阶无穷小,则因为故第32页/共49页34非零因子要及时分离出来第33页/共49页35第34页/共49页36例6.

函数解答:

无界但不是无穷大.第35页/共49页37三、连续与间断(1)函数在点的某邻域内有定义，函数在点的某邻域内有定义,则1.函数在处连续的定义第36页/共49页382.函数的间断点:间断点的分类与判别:第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点第37页/共49页391第一类间断点:2第二类间断点:第38页/共49页403.连续函数的运算性质:4.初等函数的连续性:定义域不能构成区间第39页/共49页415.闭区间上连续函数的性质:定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定理3(零点定理)定理4(介值定理)则对A

与B

之间的任一数C推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第40页/共49页42例1.

求的间断点,并判别其类型.解:

x=-1为第一类可去间断点.

x=1为第二类无穷间断点.

x=0为第一类跳跃间断点.间断点为：第41页/共49页43第42页/共49页44注意：初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.第43页/共49页45例3.

设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.提示:第44页/共49页46有无穷间断点和可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.

设函数试确定常数a