DSP定点和浮点数格式

会计学1DSP定点和浮点数格式格式和字长决定了数据的精度和动态范围格式和字长也在一定程度上决定了DSP处理器的成本、功耗和编程难度第1页/共41页2、

定点数的格式与运算1.定点数的格式1）Qn格式2）数值范围与精度3）动态范围2.定点数的算术运算1）定点数的加减法运算2）定点数的乘法运算3）定点数的除法运算第2页/共41页小数点1.定点数的格式1）Qn格式Q标志：表示隐含的小数点的位置第3页/共41页二进制补码数01010011b，粗线表示隐含的小数点位置对于负数（最高位MSB为1），要先把它转化为无符号二进制数，再进行计算，最后加上负号例：8位字长位7MSB6543210LSB二进制补码01010011Q0符号26252423222120Q4符号2221202-12-22-32-4Q7符号2-12-22-32-42-52-62-7第4页/共41页定点数与浮点数、定点数与定点数之间的转换关系浮点数X

Qn格式的定点数Xn例：5.1875Q4定点数5.1875×24

＝83＝01010011bQn格式的定点数Xn为浮点数X例：(Q7)01010011b浮点数83/27

＝0.6484375Qn格式的定点数XnQm格式的定点数Xm例：(Q7)01010011bQ4定点数83/27

＝0.6484375int(0.6484375×24)＝int(10.375)＝10＝00001010b10/24

＝0.625≠0.6484375第5页/共41页给定字长N，采用Qn格式表示小数数值范围：精度：2）数值范围与精度第6页/共41页Qn格式数值范围精度Q15-1～0.9999694824218750.000030517578125Q14-2～1.999938964843750.00006103515625Q13-4～3.99987792968750.0001220703125Q12-8～7.9997558593750.000244140625Q11-16～15.999511718750.00048828125Q10-32～31.99902343750.0009765625Q9-64～63.9980468750.001953125Q8-128～127.996093750.00390625Q7-256～255.99218750.0078125Q6-512～511.9843750.015625Q5-1024～1023.968750.03125Q4-2048～2047.93750.0625Q3-4096～4095.8750.125Q2-8192～8191.750.25Q1-16384～16383.50.5Q0-32768～32767116位字长Qn格式的数值范围与精度第7页/共41页动态范围：数据表示格式中可以表示的最大值与最小值之比N位定点数的动态范围：用分贝表示为：3）动态范围第8页/共41页动态范围：数据表示格式中可以表示的最大值与最小值之比定点DSP处理器大多采用16位定点数对于要求更大动态范围的应用，可以采用扩展字长的方式，即用两个或更多的字来表示数据定点DSP处理器要求编程时要仔细考虑信号幅值和中间结果，在避免溢出和尽可能减小舍入误差的前提下，使精度和动态范围最大化第9页/共41页2.定点数的算术运算1）定点数的加减法运算相同的Qn格式，保证隐含的小数点对齐最可能出现的问题是运算结果的溢出例：两个8位数相加，无溢出进位位与最高位（MSB）相同8位字长可以表示结果，没有发生数据溢出11111100b（-4）00101001b（41）+11111110b（-2）+00110011b（51）111111010b（-6）001011100b（92）第10页/共41页例：两个8位数相加，有溢出进位位与最高位（MSB）不同运算结果发生溢出，8位字长已不能正确地表示结果10110000b（-80）00101001b（41）+10111111b（-65）+01110011b（115）非饱和模式：101101111b（-145）非饱和模式：010011100b（156）饱和模式：110000000b（-128）饱和模式：001111111b（127）第11页/共41页溢出是由于字长有限，运算结果超出数值的表示范围引起的饱和模式定点数减法运算的原理与加法运算相同第12页/共41页2）定点数的乘法运算DSP处理器都有硬件乘法器和乘法指令，可实现单周期乘法运算二进制乘法运算包含一系列的移位和加法运算定点数乘法运算不要求相乘数有相同的Qn格式两个相乘数分别为Qn和Qm格式，字长为N，结果为Q(n+m)格式，字长为2N根据n和m的不同取值，定点数乘法运算可以分成三种情况①小数乘小数（n、m≠0，m≤n）②整数乘小数（n≠0、m=0）③整数乘整数（n=m=0）第13页/共41页①小数乘小数（n、m≠0，m≤n）例：两个相乘数分别为Q7和Q6格式，8位字长两个定点小数作乘法运算，结果左移一位，保存高位得到运算结果，结果为Qm（m≤n）格式0.1000000b（0.5Q7）

01.100000b（1.5Q6）000.1100000000000b（0.75Q13）左移一位：00.11000000000000b（0.75Q14）取高8位：00.110000b（0.75Q6）第14页/共41页②整数乘小数（n≠0、m=0）例：两个相乘数分别为Q7和Q0格式，8位字长0.1000000b（0.5Q7）

11111001.b（-7Q0）111111100.1000000b（-3.5Q7）左移一位：11111100.10000000b（-3.5Q8）取高8位：11111100.b（-3.Q0）第15页/共41页误差小于等于Qn格式精度的一半，即小于等于1/2n+1单次计算的误差并不大，但如果是连续的运算，则误差会累积和传递，从而产生比较大的误差DSP处理器提供了自动舍入功能来减小误差保留整个32位中间结果小数乘小数、整数乘小数运算都要求对乘积结果左移一位后，保存高位DSP处理器带有可选的自动左移一位的功能，消除移位操作的时间开销第16页/共41页③整数乘整数（n=m=0）例：两个相乘数都为Q0格式，8位字长整数相乘，结果为Q0格式，需查询标志位确定保存的位数，结果不需要左移一位11111100.b（-4Q0）

11111001.b（-7Q0）0000000000011100.b（28Q0）取低8位：00011100.b（28Q0）第17页/共41页3）定点数的除法运算大多数DSP处理器不提供单周期除法指令除法是乘法的逆运算，包括一系列移位和条件减法运算，需要用除法子程序实现例：8位字长的正整数相除被除数为00001010b（10）除数为00000011b（3）第18页/共41页①②00001010b－00000110b商数：00000001余数：00000100b③00001000b－00000110b商数：00000011余数：00000010b第19页/共41页④⑤00000100b－00000110b余数（丢弃）：11111110b商数：00000110余数：00000100b00001000b－00000110b商数：00001101余数：00000010b第20页/共41页⑥⑦00000100b－00000110b余数（丢弃）：11111110b商数：00011010余数：00000100b00001000b－00000110b商数：00110101余数：00000010b第21页/共41页⑧⑨对结果的小数点右移一位，得到Q5格式的结果011.01010b（3.3125），最高位MSB为符号位00000100b－00000110b余数（丢弃）：11111110b商数：01101010余数：00000100b计算中，共进行了7次移位和条件减操作，得到8位（1个符号位和7个数据位）的结果要增加精度，可以增加移位和条件减的次数，如15次移位和条件减可以得到16位的结果第22页/共41页对于两个正的小数相除（Qn格式除以Qm格式）如Q3格式的00001.010b（1.25）除以Q2格式的000000.11b（0.75）把两个正的小数看作两个Q0格式的正整数相除，即00001010b（10）除以00000011b（3）与上面例子相同，结果为Q5格式011.01010b最后对结果的小数点位置左移n-m位对于本例3-2=1>0，则结果的小数点左移一位，最后结果为Q6格式01.101010b（1.65625）如果除法运算中包含负数，应将负数变换为等值的正数，然后作除法运算，最后加上正确的符号第23页/共41页2.3浮点数的格式与运算1.浮点数的格式1）IEEE754浮点数格式2）TMS320C3X浮点数格式3）浮点数的数值范围、精度和动态范围2.浮点数的算术运算1）浮点数的加减法运算2）浮点数的乘法运算3）浮点数的除法运算第24页/共41页浮点数表示为尾数和指数的形式式中，m为尾数，e为指数符号、尾数和指数编码在同一个二进制字中1.浮点数的格式符号、尾数和指数的位数和位域不同，浮点数格式不同，常用的浮点数格式有IEEE754标准定义的单精度格式和双精度格式TI公司定义的TMS320C3X浮点数格式第25页/共41页1）IEEE754浮点数格式单精度格式：24位有效数字，总共占用32位双精度格式：53位有效数字精度，并总共占用64位扩展单精度格式：扩展双精度格式：必须至少具有64位有效数字，并总共占用至少79位第26页/共41页表示的数值第27页/共41页通常情况，即1≤e≤254时四种特殊情况①当e=0、f≠0时，尾数是个非归一化的数②当e=0、f=0时，x=0③当e=255、f=0时，x为正（s=0）或负（s=1）的无穷大④当e=255、f≠0时，x为一个无效数（NaN—NotaNumber）最高位（第31位）为符号位s第28页/共41页①32位单精度浮点数1100,0011,0101,0010,0000,0000,0000,0000b②32位单精度浮点数0011,1101,0011,1110,0000,0000,0000,0000b例第29页/共41页许多32位浮点DSP处理器具有40位的运算单元，可以进行扩展单精度格式的浮点运算扩展单精度格式与单精度格式的区别是，扩展单精度格式的尾数增加了8位，达到31位第30页/共41页2）TMS320C3X浮点数格式16位短浮点格式32位单精度格式40位扩展精度格式32位单精度浮点数格式用的最多第31页/共41页表示的数值第32页/共41页3）浮点数的数值范围、精度和动态范围以IEEE754单精度浮点数为例数值范围不考虑s，当e=254，f为全1最大的数（1－2-23）2127=1.701412×1038，加上符号就对应为正的和负的最大数IEEE754单精度浮点数的数值范围为，－1.701412×1038～1.701412×1038第33页/共41页精度尾数f为23位，f变化的最小值为1/223与定点数不同，这个最小值并不是浮点数的精度，精度还与指数有关浮点数的精度是变化的，与数值的大小有关定点数的数值是等间隔的由于指数项的存在，浮点数的变化不是等间隔的，指数大、数值大、数值间隔也大；相反，指数小、数值小、数值间隔也小第34页/共41页最大数（1－2-23）2127不考虑s，当e=1，f为全零时，得到最小数2-126动态范围动态范围若考虑e=0、f0

时的情况，动态范围还会更大浮点数的数值范围和动态范围都要比定点数大的多，浮点数的精度是变化的，与数值的大小有关第35页/共41页2.浮点数的算术运算浮点数的算术运算分成两个部分尾数的算术运算指数的算术运算设两个浮点数分别为x1＝m1×2e1x2＝m2×2e2m1和e1分别为x1的指数和尾数m2和e2分别为x2的指数和尾数浮点DSP处理器提供单周期加法、乘法和乘累加运算第36页/共41页1）浮点数的加减法运算设