2022年甘肃省天水市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年甘肃省天水市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

2.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A.A.2B.-2C.3D.-3

3.

4.已知作用在简支梁上的力F与力偶矩M=Fl，不计杆件自重和接触处摩擦，则以下关于固定铰链支座A的约束反力表述正确的是()。

A.图(a)与图(b)相同B.图(b)与图(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同

5.

6.设f(x)在点x0处取得极值，则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定为零

7.当x→0时，与x等价的无穷小量是（）

A.

B.ln(1+x)

C.

D.x2(x+1)

8.

9.

10.

11.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

12.

13.设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)（）。

A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值

14.

15.（）。A.为无穷小B.为无穷大C.不存在，也不是无穷大D.为不定型16.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线17.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x18.函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π

19.

20.

21.。A.2B.1C.-1/2D.0

22.

23.如图所示，在乎板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，可以提高()。

A.螺栓的拉伸强度B.螺栓的剪切强度C.螺栓的挤压强度D.平板的挤压强度24.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-225.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)

26.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为

A.2B.-2C.3D.-3

27.

28.函数f(x)=5x在区间[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.5

29.

30.一飞机做直线水平运动，如图所示，已知飞机的重力为G，阻力Fn，俯仰力偶矩M和飞机尺寸a、b和d，则飞机的升力F1为()。

A.(M+Ga+FDb)／d

B.G+(M+Ga+FDb)／d

C.G一(M+Gn+FDb)／d

D.(M+Ga+FDb)／d—G

31.

32.A.

B.

C.

D.

33.

34.设f(0)=0，且存在，则等于()．A.A.f'(x)B.f'(0)C.f(0)D.f(x)35.函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于（）。A.0

B.

C.

D.π

36.图示结构中，F=10N，I为圆杆，直径d=15mm，2为正方形截面杆，边长为a=20mm，α=30。，则各杆强度计算有误的一项为()。

A.1杆受拉20kNB.2杆受压17.3kNC.1杆拉应力50MPaD.2杆压应力43.3MPa37.设二元函数z=xy，则点P0(0，0)A.为z的驻点，但不为极值点B.为z的驻点，且为极大值点C.为z的驻点，且为极小值点D.不为z的驻点，也不为极值点38.A.e2

B.e-2

C.1D.0

39.

40.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx41.当x→0时，sinx是sinx的等价无穷小量，则k=()A.0B.1C.2D.3

42.

A.单调增加且收敛B.单调减少且收敛C.收敛于零D.发散43.A.A.条件收敛B.绝对收敛C.收敛性与k有关D.发散

44.

45.

46.

47.下列命题中正确的有（）．A.A.

B.

C.

D.

48.

A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与α有关D.上述三个结论都不正确

49.

50.

二、填空题(20题)51.

52.

53.过点Mo(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为_______.54.55.设z=x3y2，则=________。56.设z=sin(x2y)，则=________。

57.

58.59.设，则y'=______。60.设z＝2x＋y2，则dz＝______。

61.62.设，则y'=________。

63.

64.曲线f(x)=x/x+2的铅直渐近线方程为__________。

65.微分方程y"=y的通解为______．

66.设，将此积分化为极坐标系下的积分，此时I=______.

67.

68.

69.

70.

三、计算题(20题)71.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

72.求微分方程的通解．73.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．74.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．75.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

76.

77.

78.证明：79.80.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则81.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．82.83.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

84.

85.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．86.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

87.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

88.

89.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．90.

四、解答题(10题)91.

92.

93.

94.

95.确定函数f(x,y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点.

96.将f(x)=e-2x展开为x的幂级数．

97.

98.

99.100.求y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点．五、高等数学(0题)101.设f(x)的一个原函数是lnx，求

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.B如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

2.C点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．

3.C

4.D

5.D

6.A若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。

7.B?

8.B

9.D解析：

10.D解析：

11.C由可变上限积分求导公式有，因此选C．

12.A

13.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导，于是，f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex，令f'(x)=0得驻点x=-2；又x＜-2时，f'(x)＜0；x＞-2时，f'(x)＞0；从而f(x)在i=-2处取得极小值，且f(x)只有一个极值.

14.D

15.D

16.D本题考查了曲线的渐近线的知识点，

17.A

18.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．

由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有．

故知应选C．

19.C

20.B

21.A

22.D

23.D

24.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

25.D本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．

由于相应齐次方程为y"+3y'0，

其特征方程为r2+3r=0，

特征根为r1=0，r2=-3，

自由项f(x)=x2，相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根，因此应设

故应选D．

26.C解析：

27.B

28.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上单调增加，最大值为f(1)=5，所以选D。

29.C

30.B

31.C

32.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。

33.B

34.B本题考查的知识点为导数的定义．

由于存在，因此

可知应选B．

35.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论。

36.C

37.A

38.A

39.C

40.B

41.B由等价无穷小量的概念，可知=1，从而k=1，故选B。也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当x→0时，有sinx～x，由题设知当x→0时，kx～sinx，从而kx～x，可知k=1。

42.C解析：

43.A本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

44.D

45.A解析：

46.B

47.B本题考查的知识点为级数的性质．

可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．

48.D本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．

49.C

50.C

51.＜0本题考查了反常积分的敛散性(比较判别法)的知识点。

52.53.由于已知平面的法线向量，所求平面与已知平面平行，可取所求平面法线向量，又平面过点Mo(1，-1，0)，由平面的点法式方程可知，所求平面为54.F(sinx)+C本题考查的知识点为不定积分的换元法．

由于∫f(x)dx=F(x)+C，令u=sinx，则du=cosxdx，

55.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。56.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

57.-158.本题考查的知识点为定积分的基本公式。59.本题考查的知识点为导数的运算。60.2dx+2ydy

61.发散

62.

63.

64.x=-265.y'=C1e-x+C2ex

；本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

将方程变形，化为y"-y=0，

特征方程为r2-1=0；

特征根为r1=-1，r2=1．

因此方程的通解为y=C1e-x+C2ex．

66.

67.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

68.69.由可变上限积分求导公式可知

70.

71.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

72.

73.74.函数的定义域为

注意

75.

76.

77.

78.

79.

80.由等价无穷小量的定义可知

81.

82.

83.

84.

85.由二重积分物理意义知

86.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

87.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

88.由一阶线性微分方程通解公式有

89.