高等数学 第八节 函数的连续性课件

第八节函数的连续性一、连续函数的概念二、函数的间断点三、连续函数的四则运算四、反函数的连续性五、复合函数的连续性六.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式1、连续性概念的增量形式在某过程中,变量u的终值u2与它的初值u1的差u2u1,称为变量u在u1处的增量,记为u=u2－u1.定义u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.有时我们也称u为变量u在u1处的差分.连续性概念的增量形式则称f(x)在点x0处连续.设f

(x)在U(x0)内有定义.若定义自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零.设f

(x)在U(x0)内有定义,若则称函数f

(x)在点x0处是连续的.2、函数连续性的定义(极限形式)函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.定义是整个邻域函数f

(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义)(极限值等于函数在点x0处的函数值)3.函数的左、右连续性设函数f

(x)在[x0,x0+)内有定义.若则称f

(x)在x0点处右连续.设函数f(x)在(x0–,x0]内有定义.若则称f

(x)在x0点处左连续.其中,为任意常数.定义函数在点x0

连续,等价于它在点x0

既左连续又右连续.定理讨论y=|x|,x()在点x=0处

y=|x|在点x=0处连续.xyy=|x|O的连续性.例2解4.函数在区间上的连续性设函数f

(x)在开区间(a,

b)内有定义.若x0(a,

b),f(x)在点x0处连续,则称f

(x)在开区间(a,

b)内连续,记为f(x)C((a,b)).定义若f(x)C((a,b)),且f(x)在x=a处右连续,在端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,记为f(x)C([a,b]).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义一般地,如果函数f(x)在区间I上连续,则记为f(x)C(I).连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点

通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.函数f

(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义)(极限值等于函数在点x0处的函数值)(1)f

(x)在x0处无定义.若函数在点满足下述三个条件中的任何一个,则称函数在点处间断,点称为函数f

(x)的一个间断点：定义2.函数间断点的分类函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(1)第一类间断点若x0为函数f

(x)的一个间断点,且f

(x)的第一类间断点.则称x0为函数定义讨论函数f

(x)=x+1 x

>0sinx

x

<0在x=0处的连续性.yxO1y=sinxy＝x+1由图可知,函数在点x0处间断.例4讨论函数在x=1无定义,故x=1为函数的第一类间断点.x=1为函数的间断点.yxO11P(1,2)y＝x+1进一步分析该间断点的特点.例5解补充定义则函数f*(x)

在x=1连续.f*

(x)

=2x=1即定义分析这种间断点称为可去间断点.处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存补充定义f*

(x)

=,x=x0(2)第二类间断点凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.这算定义吗？定义即左右极限至少有一个不存在的点.讨论函数xyO在x

=0无定义,x

=0为函数的间断点,故

x

=0为函数的第二类间断点.所以称它为无穷间断点.由于例6解在x

=0处无定义,又不存在,故x=0为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例7解O11xy无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷振荡型间断点左右极限至少有一个振荡回忆函数极限的四则运算则三、初等函数的连续性1、连续函数的四则运算设函数f(x)、g(x),fi(x)在点x0处连续,则即

有限个在点x0

处连续函数的和仍是一个在点x0处连续的函数.即(2)有限个在点x0处连续的函数之积仍是一个在点x0处的连续函数.即(3)两个在点x0处连续函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点x0处连续函数.即2、反函数的连续性

y

=f

－1(x)的图形只是y=f

(x)的图形绕直线y=x

翻转180º而成,故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x=f

－1(y)与y=f

(x)的图形相同,连续性保持.从而,单调性、设函数y=f

(x)在区间I上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数在相应的区间I*={y|y=f(x),xI}上严格单调增加

(减少)且连续.定理3(反函数连续性定理)xy11Oxy11O例8设函数u=(x)在点x0处连续,且u0

=

(x0),函数y=f(u)在u0处连续.若复合函数y=f((x))在U(x0)内则y=f((x))在x0点处连续.有定义,这个条件有必要吗？定理(复合函数连续性定理)3、复合函数的连续性如果

y=f(u)在u0处连续,则

,当|uu0|<时,有|f(u)

f

(u0)|<再假设u=(x),且在x0处连续,即亦即证明:|u

u0|=|(x)

(x0)|<

故对上面的,,当|x

x0|<时,有则

,当|x

x0|<

时,|u

u0|=|(x)

(x0)|<

且有（假设可以构成复合函数）|f(u)

f(u0)|＝|f((x))f((x0))|<u=cosx1是在定义域内的定义域是一个孤立点集D={x|x=2k,kZ}从而,函数在其定义域内的但由它们构成的复合函数连续的函数,每一点均不连续.例9在上述定理的条件下,在上述定理的条件下,极限符号可与连续函数符号交换顺序.推论1设函数u=(x)的极限存在：函数y=f

(u)在点u=a处连续.复合函数f

((x))当xx0

时的极限存在,且若复合函数f

((x))在内有定义,则推论2求例10解利用复合函数的连续性推论求极限求y

=lnu

在其定义域内连续,故（y

=lnu

在u=1处连续）例11解4.初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.注意两者的区别！利用初等函数和反函数连续性求极限求连续性给极限运算带来很大方便.例12解例14例13故