高中数学函数知识精要整理人教

高中函数知识精要广西田林中学梁万鹏1.一。映射与函数1、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则f，使得集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：A→B2、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。(2)设A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。广西田林中学梁万鹏2.〖方法小结〗1、理解映射的概念①A、B为非空数集；②A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；③A中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”。2、理解函数与映射的关系。函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。广西田林中学梁万鹏3.二。函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。2、求函数的定义域的主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数非负；③对数的真数大于0；④指数、对数函数的底数大于0且不等于1；⑤指数为0或负数时，底数不为0；⑥实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。广西田林中学梁万鹏4.三。函数的值域函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合。〖方法小结〗1、求函数值域的常用方法有：①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.②分离常数法:求函数f(x)=形函数的值域，如f(x)=转化为f(x)=1－求值域;2x＋12x＋3ax＋bcx＋d5x＋3广西田林中学梁万鹏5.③反函数法:求式函数f(x)=形函数的值域，均可使用反函数法.ax＋bcx＋d④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.形如y=(a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二次方程根的分布来求解.a1x2+b1x+c2a2x2+b2x+c2⑤单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.⑥换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数广西田林中学梁万鹏6.3、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。⑦数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域.广西田林中学梁万鹏7.四。函数的单调性1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。2、注意定义的变形：设x1、x2∈[a，b]f(x1)－f(x2)x1－x2＞0或(x1－x2)(

f(x1)－f(x2))＞0f(x)在这个区间上为增函数f(x1)－f(x2)x1－x2＜0或(x1－x2)(

f(x1)－f(x2))＜0f(x)在这个区间上为减函数广西田林中学梁万鹏8.3、熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性。①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；②y=f(x)与y=－f(x)有相反的单调性；③当y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：广西田林中学梁万鹏9.〖方法小结〗1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。2、根据定义证明函数单调性的方法：①设x1、x2∈A，且设x1＜x2；②作差：f(x1)－f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；③判断差的符号，并作结论。3、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x∈(a,b),u∈(m,n)，都是单调函数，则y=f(g(x))在[a,b]上也是单调函数。若y=f(u)是(m,n)上的增（减）函数，则y=f(g(x))的增减性与u=g(x)的增减性相同（相反）。也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减”。广西田林中学梁万鹏10.五。反函数3、反函数的求法：①由y=f（x）解出x=f－1（y）；②将x=f－1（y）中的x、y互换，得y=f－1（x）；③由y=f（x）的值域，写出y=f－1（x）的定义域。1、定义：函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，由y=f(x)解出x=f－1(y)，如果对于y在C中的任何一个值，由x=f－1(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f－1(y)就表示x是y的函数，则函数x=f－1(y)就叫做y=f(x)的反函数。习惯上把y看成函数，将x、y调换，y=f(x)的反函数表示为y=f－1(x)。2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。广西田林中学梁万鹏11.〖方法小结〗1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；2、若原函数过点(a,b)，则反函数过点(b,a)，即若f（a）=b，则f－1（b）=a。3、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。广西田林中学梁万鹏12.六。一些常用函数及其性质1、正比例函数：y=kx（k≠0）xyok＞0xyok＜0图象性质:1、定义域为R；

2、值域为R；

3、单调性：

k＞0时为增函数,

K＜0时为减函数。广西田林中学梁万鹏13.图象2、反比例函数：y=（k≠0）kxxyok＞0xyok＜0性质:

1、定义域：(－∞,0)∪(0,＋∞);

2、值域：(－∞,0)∪(0,＋∞)；

3、单调性

（1）k＞0时，在(－∞,0)或(0,＋∞)上是增函数；

（2）k＜0在(－∞,0)或(0,＋∞)上是减函数。

广西田林中学梁万鹏14.3、一次函数：y=kx＋b（k≠0）xyok＞0xyok＜0图象性质:

1、定义域为R；

2、值域为R；

3、k＞0时为增函数,

K＜0时为减函数。广西田林中学梁万鹏15.4、二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）oxy3、图象开口往上，对称轴为x=－，有最小值，在（－∞，－]为减函数，在[－，+∞)为增函数。b2ab2ab2a4ac－b24a性质：

1、定义域：R；

2、值域：[，+∞);

a＞0时的图象与性质广西田林中学梁万鹏16.oxy3、图象开口往下，对称轴为x=－，有最大值，在（－∞，－]为增函数，在[－，+∞)为减函数。b2ab2ab2a4ac－b24a性质：

1、定义域：R；

2、值域：（—∞，];

a＜0时的图象与性质广西田林中学梁万鹏17.Δ＞0Δ＜0Δ=0图象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a>0)ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)x=x1或x=x2x=x1=x2=－b2a{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}b2a{x|x≠－}OOR无实根5、二次函数与二次不等式广西田林中学梁万鹏18.〖方法与小结〗1、解决分式函数f(x)=，可转化为反比例函数来解决。如f(x)=转化为f(x)=2－;2x＋1x＋3ax＋bcx＋d5x＋32、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶点(－,)，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、判别式、最值等。4ac－b24ab2a3、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：f(x)=a(x－k)2＋m，零点式：f(x)=a(x－x1)(x－x2)。广西田林中学梁万鹏19.6。指数函数与对数函数（1）、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈R；②y∈(0,+∞);③过定点(0,1)④当x＞0时,y＞1,x＜0时,0＜y＜1④当x＞0时,0＜y＜1,x＜0时,y＞1⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.xoyxoy广西田林中学梁万鹏20.xoyxoy（2）对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈(0,+∞)；②y∈R;③过定点(1,0)④当x＞1时,y＞0,0＜x＜1时,y＜0④当x＞1时,y＜0,0＜x＜1时,y＞0⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.广西田林中学梁万鹏21.〖方法小结〗1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数a的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。3、熟记以下几个结论：logab＞0(a－1)(b－1)＞0;logab＜0(a－1)(b－1)＜0当0＜a＜1时，m＞n＞0logam＜logan当a＞1时，m＞n＞0logam＞logan广西田林中学梁万鹏22.七。函数的图象1、作图：⑴利用描点作图法：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象。⑵利用基本函数图象的作图变换：平移变换：y=f(x)h＞0,右移y=f(x—ｈ)h＜0,左移y=f(x)y=f(x)+kk＞0,上移k＜0,下移广西田林中学梁万鹏23.对称变换y=f(x)y=－f(x)作x轴对称y=f(x)y=f(－x)作y轴对称y=f(x)y=f(2a－x)作关于直线x=a对称广西田林中学梁万鹏24.y=f(x)y=f－1(x)作关于直线y=x对称y=f(x)y=－f(－x)作关于原点对称y=f(x)y=f(|x|)保留y轴右边图象,去掉y轴左边图象并作其关于y轴对称图象y=f(x)y=|f(x)|保留x轴上方图象并将x轴下方图象翻折上去广西田林中学梁万鹏25.2、识图对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性，注意图象中特殊点的作用。3、用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法。广西田林中学梁万鹏26.〖方法小结〗1、证明函数